Моменты (начальные и центральные). Показатели асимметрии и эксцесса

Моменты – дополнительные числовые характеристики с/в. Начальный момент порядка k с/в x – это математическое ожидание величины x^k:

ν_k=M(x^k).

Для дискретной и непрерывной с/в ν_k[x] вычисляются по формулам:

Центральный момент порядка k с/в x – математическое ожидание величины [Х-М(х)]^k:

μ_k=M[x-M(x)]^k.

Моменты, определения которых были даны выше, называют теоретическими. Они связаны с возможными значениями и вероятностными. Кроме них есть ещё эмпирические моменты – вычисляются по данным наблюдений.

Ассиметрия выборочного распределения – отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонениея:

, где μ₃ – центральный статистический момент третьего порядка, вычисляемый по формуле: . Если распределение симметричное, то A_s=0.

Для оценки крутости, т.е. большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой - эксцессом. Эксцесс выборочного распределения – характеристика, которая определяется равенством центрального момента четвёртого порядка к четвёртой степени среднего квадратического отклонения:

Е_k= (μ₄/ σ_в⁴)-3. Здесь μ₄ – центральный статистический момент четвёртого порядка, вычисляемый по формуле: μ₄=∑_i (x_i-X)(m_i/n)