Уравнение прямой линии в пространстве

Прямую линию в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей А₁х+В₁у+С₁ z +D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂ z +D₂=0. Рассмотрим случай, когда прямая задана своей точкой М₀(х₀,у₀,z₀) и направлением р=(l,m,n). Пусть М(х,у,z) - текущая точка прямой, векторы М₀Ми р должны быть коллиниарны, поэтому:

х-х₀¸l=у-у₀¸m=z-z₀¸n (1)

получили каноническое уравнение прямой. Разрешается одной и даже двум величинам в знаминателе обращаться в 0.В этом случае используют свойства пропорции.

х-х₀¸l=у-у₀¸m=z-z₀¸n=t

приравнивая величине t каждое из отношений по отдельности, выразим х, у, z: х= х₀+lt, y= у₀+mt, z= z₀+nt. Получили параметрические уравнения той же прямой.

С помощью (1) можно написать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки М₁(х₁,у₁,z₁) и М₂(х₂,у₂,z₂). Одну из этих точек, например М₁ можно принять за М₀, что даст возможность написать числители в (1). Осталось определить направление прямой. Для этого используют вектор М₁М₂(х₁-х₂,у₁-у₂,z₁-z₂) его координаты принимают за числа l,m,n В результате приходим к уравнениям:

х-х₀¸ х₁-х₂ =у-у₀¸у₁-у₂=z-z₀¸ z₁-z₂

22. Условия || и ^ прямых на плоскости.

Пусть даны две прямые х-х₁¸l₁=у-у₁¸m₁ =z-z₁¸n₁ и х-х₂¸l₂=у-у₂¸m₂ =z-z₂¸n₂ и две плоскости А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z +D₂=0. Вспомним, что векторы р₁={l₁,m₁,n₁} и р₂={l₂,m₂,n₂} имеют направления прямых, а векторы N₁{А₁,В₁,С₁} и N₂{А₂,В₂,С₂}ортоганальны соответствующим плоскостям. Кроме того, воспользуемся условиями коллиниарности и ортоганальности двух векторов:

1.Условие параллельности прямых.

l₁¸l₂ =m₁¸m₂ =n₁¸n₂

2. Условие параллельности плоскостей

А₁¸А₂ =В₁¸В₂ =С₁¸С₂

3. условие перпендекулярности прямых(скалярное произведение и р₁и р₂=0)

l₁+l₂ =m₁+m₂ =n₁+n₂=0

4. условие перпендекулярности плоскостей

А₁+А₂ =В₁+В₂ =С₁+С₂=0

4. условие перпендекулярности прямойи плоскости(коллиниарность векторов р₁и N₁)

l₁¸А₁ =m₁¸В₁ =n₁¸С₁

5. Условие параллельности прямой и плоскости (ортогонтальность векторов р₁и N₁)

l₁+А₁ =m₁+В₁ =n₁+С₁=0