Замена переменной в определенном интеграле

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)

Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница

Получаем

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.