Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции

Определение: Функция F( x ) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если на этом интервале существует производная F'(x) и F'(x)=f(x).

Теорема: Если F₁(x) и F₂(x) - первообразные для одной и той же функции f(x), то их разность есть величина постоянная.

Докозательство: По условию F'₁(x)=F'₂(x)=f(x) обозначим: Ф(x)= F₁(x) - F₂(x). Очевидно, Ф'(x) равняется нулю во всем промежутке (a,b), где определены первообразные F₁(x) и F₂(x). Для любых х₁, x₂,Î (a,b) по формуле Лагранжа Ф(х₁)-Ф(х₂)=Ф'(c)(b-a). но Ф'(c)=0, т.к. сÎ (a,b), следовательно Ф(х₁)=Ф(х₂). Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на промежутке (a,b), т.е. F₁(x) - F₂(x) =С.

Следствие: Если для функции f(x) первообразной на интервале (a,b) является функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C, где С - произвольная постоянная.

14. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы.

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ∫ f(x)dx, где ∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) - подынтегральная функция.

Из определения вытекает, что

И следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx. С другой стороны, ∫F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C.

Если F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное выше следствие, можно написать: ∫ f(x) dx = F(x)+C, где С- произвольная постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать справедливость следующих свойств:

1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).

2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).