Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом

Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная от интеграла

По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x)

Доказательство: Дадим аргументу х приращение

∆х так, чтобы х+∆хÎ(a,b). Для приращения ∆F функции F(x) воспользуемся формулой

и применим теорему о среднем значении (Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξÎ (a,b), что справедливо равенство:

Теорема верна и при b<a.) получим:

Число x заключено между числами х и х+∆х и при стремлении ∆х к нулю ξ стремится к х.

Перейдем к вычислению производной F'(x).

Последнее равенство основано на непрерывности функции f(x) в любой точке х промежутка (a,b).

Следствие: Всякая функция f(x), непрерывная на промежутке (a,b), имеет первообразную на этом промежутке.

Действительно, первообразной для такой функции является функция

Предыдущая теорема устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом. Можно написать: