Достаточные условия локального экстремума

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х₀ существует f'(х) (в самой точке х₀ производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х₀ слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х) >0), а после точки х₀ убывает (т.е. f'(х) <0). Очевидно, что в точке х₀ имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f'(х) >0 при х< х₀ и f'(х) <0 при х > х₀, то в точке х₀ имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f'(х) <0 при х< х₀ и f'(х) >0 при х > х₀, то в точке х₀ имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х₀, в том числе и в самой точке х₀, существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х₀ существует вторая производная f''(х₀). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х₀)=0. Посмотрим теперь на f''(х) как на первую производную от функции

Допустим, что f''(х₀) >0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х₀ к значениям х > х₀ . Но f'(х₀)=0, поэтому возрастание f'(х₀)<0, при х < х₀ и f'(х₀)>0, при х > х₀ . (для значений х из достаточно малой окрестности х₀ ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х₀ . Аналогичное рассуждение при f''(х₀) <0 приводит к существованию максимума в точке х₀ . Вывод: если f'(х₀)=0, а f''(х₀) <0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х₀ . Если f'(х₀)=0, а f''(х₀) >0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х₀.

11. Формула Тейлора и Маклорена.

Этой формулой можно воспользоваться, когда в некоторой окрестности точки х₀ существует непрерывная производная f⁽ⁿ⁺¹⁾(x), и значения х принадлежат этой окрестности. Через R_n обозначен так называемый остаточный член. Его можно записывать в разных формах. Мы ограничимся формулой Лагранжа:

Здесь с - какое-то число, о котором известно только то, что оно находится между х₀ и х.

При х₀=0 формулу Тейлора называют формулой Маклорена, общий вид которой: