Правило Лопиталя

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.

2. (1)

3. g(x) и f(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.

Если при этом существует (2)

То существует и (3)

Причем, они равны между собой.(4)

Доказательство: Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами a и x, где точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Для определенности будем считать, что x<a. Обе функции на отрезке [x,a] неперывны, а в интервале (x,a) дифференцируемы, т.е. удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно, Существует такая точка сÎ(x,a), что выполняется равенство(5)

Так как f(a)=g(a)=0. При х®а будет с®а, потому x<c<a.

По условию теоремы существует (2). Здесь х можно заменить любой другой буквой, в частности с. Переходя к пределу в равенстве (5) при х®а, получим

Или, что то же самое (4).