Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума)

Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x₀ локальный максимум, если сущ-ет окрестность (х₀-d, х₀+d), для всех точек х которой выполняется неравенство f(х)£f(х₀). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f(х)³f(х₀).

Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х₀) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х₀. Пусть (х₀-d, х₀+d) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'(х₀) А это означает, что правая производная f_пр'(х₀) и левая производная f_л'(х₀) равны между собой: f_пр'(х₀)= f_л'(х₀)= f'(х₀). Таким образом, с одной стороны, f'(х₀)≤0, с другой стороны, f'(х₀)≥0, что возможно лишь, когда f'(х₀)=0.

4. Теорема Коши.

Теорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g '(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c Î (a,b), что выполняется равенство (1)

Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ≠ 0,т.к. из равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g '(х) обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что противоречит условию g '(х)≠0. Образуем вспомогательную функцию:

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка c Î (a,b),, такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

Подставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) ¹0), мы приходим к формуле (1)