 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Замечания. 1. Если в (6.4) или , то частное решение y* также ищется в виде (6.5), (6.6), где (или
|
|
1. Если в (6.4) 
или 
, то частное решение y * также ищется в виде (6.5), (6.6), где 
(или 
).
2. Если уравнение (6.1) имеет вид 
, то частное решение 
такого уравнения можно искать в виде 
, где 
– частное решение уравнения 
, а 
– частное решение уравнения 
.
Пример 6.2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
,
характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Общее решение однородного уравнения:
.
Правая часть данного уравнения есть сумма
.
Поэтому находим частные решения для каждого из трех уравнений:
.
Частное решение первого уравнения ищем в виде 
, так как 
является однократным корнем характеристического уравнения и 
– многочлен нулевой степени. Поскольку
,
то, подставляя эти выражения в первое уравнение, имеем
или 
и 
.
Частное решение второго уравнения будем искать в виде 
, так как в правой части второго уравнения 
не является корнем характеристического уравнения и – многочлен нулевой степени.
Определяя, как и выше, постоянную A, получим 
. Частное решение третьего уравнения будем искать в виде 
, так как в правой части третьего уравнения 
является однократным корнем характеристического уравнения и 
– многочлен первой степени. Поскольку 
, то, подставляя эти выражения в третье уравнение, имеем 
. Приравнивая коэффициенты при x и свободные члены в левой и правой частях равенства, получаем систему – 
, откуда находим 
.
Следовательно, 
.
Суммируя частные решения, получаем частное решение y* исходного уравнения 
. Тогда общее решение данного неоднородного уравнения будет следующим:
Пример 6.3. Найти частное решение уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям 
.
Решение. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Поэтому общим решением соответствующего однородного уравнения 
будет 
. Для первой части данного уравнения 
– многочлен первой степени; 
– многочлен нулевой степени 
; 
являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде 
или 
.
Находим
Подставляя в данное уравнение, имеем
Приравнивая коэффициенты при 
в обеих частях равенства, получаем систему
Решая эту систему, находим 
. Тогда
.
Общее решение будет 
. Находим 
. Так как 
то 
. Таким образом, 
. Подставляя значения в общее решение, получим частное решение 
.
Пример 6.4. Определить вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, если известны корни 
, 
его характеристического уравнения и его правая часть
.
Решение. В правой части 
– многочлены нулевой степени, 
являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение будет иметь вид
,
где A и B – неопределенные коэффициенты.
7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ. МЕТОД ЭЙЛЕРА РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
7.1. Нормальная система n -го порядка обыкновенных
дифференциальных уравнений
Нормальная система n -го порядка обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид
где t – независимая переменная; 
– неизвестные функции от 
– заданные функции.
Метод исключения неизвестных состоит в том, что данная система приводится к одному дифференциальному уравнению n -го порядка с одной неизвестной функцией (или к нескольким уравнениям, сумма порядков которых равна n). Для этого последовательно дифференцируют одно из уравнений системы и исключают все неизвестные функции, кроме одной.
Пример 7.1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
.
Решение. Дифференцируем первое уравнение по t: 
. Заменяя здесь 
ее значением из второго уравнения системы и подставляя 
, найденное из первого уравнения, получим после упрощения уравнение второго порядка 
.
Интегрируем это уравнение, предварительно понижая порядок:
Дифференцируя эту функцию и подставляя в выражение , получим
.
Общим решением данной системы дифференциальных уравнений будет
.
Для нахождения частного решения подставим начальные условия
. Получим 
, откуда 
.
Следовательно, искомым частным решением системы будет пара функций:
.
Пример 7.2. Найти общее решение системы
.
Решение. Дифференцируем первое уравнение: 
. Заменяем ее значением из второго уравнения и подставляем затем 
. Получим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
.
Его общее решение
(получено как сумма общего решения 
соответствующего однородного уравнения и частного решения 
неоднородного
уравнения).
Подставляя x и 
в выражение для y, получим
.
Общее решение исходной системы имеет вид
7.2. Линейная однородная система n -го порядка
с постоянными коэффициентами
Линейная однородная система n -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
где 
– неизвестные функции от t.
Данную систему можно записать в матричной форме
,
где
При решении линейной системы дифференциальных уравнений методом Эйлера частные решения системы ищутся в виде 
, где 
– матрица-столбец, 
– число.
Если корни 
характеристического уравнения 
действительны и различны, общее решение системы имеет вид
,
– произвольные постоянные, 
– собственный вектор-столбец матрицы A, соответствующий числу k, то есть 
, где E – единичная матрица.
Замечание. Если 
– пара простых комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения, то им соответствуют два действительных частных решения 
, где 
– действительные и мнимые части z.
Пример 7.3. Найти общее решение системы
и частное решение, удовлетворяющее условиям 
, 
.
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение
Находим собственный вектор 
, соответствующий корню 
:
Аналогично находим собственные векторы
соответствующие 
.
Общее решение системы таково:
;
или
Для нахождения частного решения подставим в общее решение 
, 
и определим 
из полученной системы:
Искомое частное решение
.
Пример 7.4. Найти общее решение системы 
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни 
. Находим собственный вектор 
, соответствующий корню 
из системы: 
Считая 
, получим 
. Составим выражение
.
Здесь использована формула 
. Согласно замечанию, два частных решения исходной системы имеют вид
.
Общим решением системы будет
или
7.3. Задачи динамики, приводящие к решению
дифференциальных уравнений
К задаче динамики точки, приводящей к решению дифференциальных уравнений, относятся те задачи, в которых определяется движение точки по заданным силам. Силы, действующие на точку, могут быть как постоянными, так и заданными функциями времени, координат, скорости, то есть
Решение таких задач сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме
(7.1)
или в естественной форме
(7.2)
В этих уравнениях под F понимается равнодействующая всех сил, в том числе и реакций связей, если точка не свободна. При интегрировании системы уравнений (7.1) в общем случае появляется шесть произвольных постоянных, которые определяются по начальным условиям. Под начальными условиями движения точки понимаются значения координат и проекций скорости точки в начальный момент движения, то есть при 
Если движение точки происходит на плоскости, то число уравнений (7.1) сокращается до двух, а число начальных условий – до четырех. При движении точки по прямой будем иметь одно дифференциальное уравнение и два начальных условия.
При решении задач полезно придерживаться следующей последовательности.
1. Составить дифференциальное уравнение движения:
а) выбрать координатные оси, поместив их начало в начальное положение точки; если движение точки является прямолинейным, то одну из координатных осей следует проводить вдоль линии движения точки; б) изобразить движущуюся точку в произвольный текущий момент t и показать на рисунке все действующие на нее силы, в том числе и реакции связей, при наличии сил, зависящих от скорости, вектор скорости направить предположительно так, чтобы все его проекции на выбранные оси были поло-жительными; в) найти сумму проекций всех сил на выбранные оси и подставить эту сумму в правые части уравнений (7.1).
2. Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения. Интег-рирование производится соответствующими методами, зависящими от вида по-лученных уравнений.
3. Установить начальные условия движения материальной точки и по ним определить произвольные постоянные интегрирования.
4. Из полученных в результате интегрирования уравнений определить ис-комые величины.
Замечание 1. При интегрировании дифференциальных уравнений иногда целесообразно определить значения произвольных постоянных по мере их появления.
Пример 7.5. Автомобиль массы m движется прямолинейно из состояния покоя и имеет двигатель, который развивает постоянную тягу F, направленную в сторону движения, до полного сгорания горючего в момент времени Т, после чего автомобиль движется по инерции до остановки. Найти пройденный путь. Силу сопротивления считать постоянной и равной R. Изменением массы автомобиля пренебречь.
Решение. Весь путь S складывается из S 1 = ê AC ê, на котором действует сила F до полного сгорания горючего и S 2 = ê CB ê, который автомобиль идет по инерции. На пути АС:
; (7.3)
на пути СВ:
. (7.4)
Решим дифференциальное уравнение (7.3): 
;
; при 
, откуда
. (7.5)
Интегрируя, получим 
; при 
, откуда 
; 
. Определим путь 
, который пройдет автомобиль до полного сгорания горючего в момент 
: 
. Решим уравнение (7.4): 
. При скорость x будет равна скорости, которую имеет автомобиль в момент Т сгорания горючего и которая из формулы (7.5) равна 
. Используя эти начальные условия, найдем 
:
.
Подставляя , имеем
; (7.6)
при 
.
Поэтому 
.
Чтобы найти путь 
, надо знать время t движения автомобиля по инерции до остановки (
).
Из (7.6) получим
– путь, пройденный по инерции;
– искомый путь.
Вопросы для самоконтроля
Неопределенный интеграл
1. Какая функция 
называется первообразной для функции 
на интервале 
? Привести несколько примеров.
2. Что называется неопределенным интегралом от функции ?
3. Каковы основные свойства неопределенного интеграла? Знать их и уметь доказывать.
4. Таблица основных интегралов. Как с помощью производной проверить справедливость табличных формул?
5. Привести примеры «неберущихся интегралов», т.е. интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
6. В чем состоит метод поднесения под знак дифференциала для поиска неопределенного интеграла? Привести примеры.
7. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Привести примеры.
8. Формула интегрирования по частям. Привести примеры использования формулы для вычисления неопределенных интегралов.
9. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен:
10. Интегрирование выражений, содержащих радикалы (иррациональности) от линейных или дробно-линейных функций.
11. Интегрирование тригонометрических функций.
12. Применение тригонометрических подстановок при интегрировании некоторых иррациональных функций. Привести примеры.
Определенный интеграл
1. Что называется разбиением отрезка 
в интегральном исчислении?
2. Дать определение определенного интеграла 
как предела интегральных сумм.
3. Сформулировать и уметь обосновывать геометрический и механический смысл определенного интеграла .
4. Сформулировать условия интегрируемости функции 
на отрезке 
. Перечислить классы интегрируемых функций.
5. Основные свойства определенного интеграла.
6. Теорема о среднем для определенного интеграла.
7. Что называется определенным интегралом с переменным верхним пределом? Теорема о производной от этого интеграла по верхнему пределу.
8. Формула Ньютона–Лейбница. Привести примеры.
9. Замена переменной в определенном интеграле; в чем отличие этой замены от замены переменной в неопределенном интеграле?
10. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
11. Особенность вычисления определенного интеграла по симметричному относительно точки 
отрезку для случая:
а) нечетной функции f(x), x Î [ a; b ];
б) четной функции на отрезке [ a; b ].
12. Применение определенного интеграла для вычисления:
а) площади плоской фигуры при различных способах задания линии границы фигуры;
б) объема тела с известной площадью 
его поперечного сечения и тел вращения;
в) длины дуги плоской кривой при различных способах описания дуги (явное ее задание; параметрическое описание и задание в полярной системе координат).
13. Что называется несобственным интегралом функции :
а) по промежутку 
;
б) по промежутку 
;
в) по промежутку 
?
14. Дать определение несобственного интеграла от неограниченной на отрезке функции .
15. Дать определение сходящихся и расходящихся несобственных интегралов. Привести примеры.
Функции нескольких переменных
1. Дать определение функции нескольких переменных. Привести примеры для случая двух, трех и более переменных.
2. Что называется областью определения и областью значений функции несколь-ких переменных?
3. Что называется графиком функции нескольких переменных?
4. Дать определение предела функции z = f (x, y) в точке M 0(x 0; y 0).
5. Сформулировать арифметические свойства пределов функций двух переменных.
6. Дать определение непрерывности функции 
в точке 
.
7. Дать определение частных производных первого порядка по х и по y для функции ; знать различные виды обозначений частных производных.
8. Что такое полное приращение функции 
в точке 
? Привести примеры.
9. Дать определение и сформулировать достаточное условие дифференцируемости функции 
в точке 
.
10. Дать определение полного дифференциала функции в точке . Привести инвариантную форму полного дифференциала.
11. Формула приближенного вычисления значения функции в точке с помощью полного дифференциала.
12. Дать определение частных производных второго, третьего и более высоких порядков функции . Сформулировать теорему о равенстве вторых смешанных производных.
13. Дать определение минимума и максимума в точке .
14. Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных.
15. Достаточные условия экстремума функции .
16. Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных: привести соответствующие формулы.
17. Записать уравнения: а) касательной плоскости и б) нормали к поверхности при явном и при неявном задании поверхности.
18. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области 
с границей G: сформулировать алгоритм поиска.
Дифференциальные уравнения
и системы дифференциальных уравнений
1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка?
2. Записать общий вид обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.
3. Дать определение задачи Коши для дифференциального уравнения 
. Сформулировать достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши.
4. Дать определения общего и частного решений, общего и частного интегралов обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Особое решение и особый интеграл.
5. ДУ с разделяющимися переменными: дать определение и описать алгоритм решения.
6. Однородное ДУ 1-го порядка: дать его определение; описать порядок поиска типа ДУ и изложить алгоритм решения.
7. Линейное ДУ 1-го порядка и ДУ Бернулли: дать их определения; изложить метод решения.
8. ДУ в полных дифференциалах: его определение, метод распознания типа ДУ и алгоритм решения.
9. Дать определение общего решения и частного решения обыкновенного ДУ n -го порядка. Сформулировать задачу Коши для него.
10. Перечислить некоторые ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка; изложить алгоритм решения каждого такого ДУ.
11. Линейное однородное ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами: изложить алгоритм метода Эйлера его решения. Что такое характеристи-ческое уравнение для такого ДУ?
12. Изложить метод вариации произвольных постоянных для решения линейного неоднородного ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами.
13. Изложить алгоритм решения линейного неоднородного ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.
14. Дать определение нормальной системы n -го порядка обыкновенных ДУ. Описать метод исключения неизвестных для ее решения.
15. Изложить метод Эйлера решения линейной однородной системы ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами.
16. Задачи динамики, приводящие к дифференциальным уравнениям. Привести примеры.
КОНТРОЛЬНая работа № 2
1–20. Найти неопределенные интегралы:
1. a) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
2. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
3. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
4. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
5. 
6. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
7. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
8. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
9. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
10. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
11. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
12. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
13. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
14. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
15. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
16. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
17. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
18. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
19. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
20. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
21–40. Приложения определенного интеграла.
21–26. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
21. 
. 22. 
.
23. 
. 24. 
25. 
26. 
.
27–33. Найти длину дуги кривой:
27. 
. 28. 
.
29. 
. 30. 
31. 
32. 
. 33. 
.
34–40. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
34. 
. 35. 
. 36. 
.
37. 
. 38. 
.
39. 
40. 
.
41–60. Найти 
для функции 
.
41. 
. 42. 
. 43. 
. 44. 
.
45. 
. 46. 
. 47. 
. 48. 
. 49. 
.
50. 
. 51. 
. 52. 
.
53. 
. 54. 
. 55. 
. 56. 
.
57. 
. 58. 
. 59. 
.
60. 
.
61–80. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области 
.
61. 
.
62. 
.
63. 
.
64. 
.
65. 
.
66. 
.
67. 
.
68. 
.
69. 
.
70. 
.
71. 
.
72. 
.
73. 
.
74. 
.
75. 
.
76. 
.
77. 
.
78. 
.
79. 
.
80. 
.
81–100. Проинтегрировать дифференциальное уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.
81. 
. 82. 
.
83. 
. 84. 
.
85. 
. 86. 
.
87. 
. 88. 
.
89. 
.
90. 
. 91. 
.
92. 
. 93. 
.
94. 
. 95. 
.
96. 
. 97. 
.
98. 
. 99. 
.
100. 
.
101–120. Проинтегрировать дифференциальные уравнения.
101. 
.
102. 
103. 
.
104.. 
105. 
.
106. 
.
107. 
.
108. 
.
109. 
110. 
.
111. 
.
112. 
. 113. 
.
114. 
.
115. 
.
116. 
117. 
. 118. 
.
119. 
.
120. 
.
121–140. Найти общие решения уравнений.
121.  .
123.  .
125.  .
127.  .
129.  .
131.  .
133.  .
135.  .
137.  .
139.  .
| 122.  .
124.  .
126.  .
128.  .
130.  .
132.  .
134.  .
136.  .
138.  .
140.  .
|
ЛИТЕРАТУРА
1. Математика: сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей втузов: в 2 ч. / А. Н. Андриянчик [и др.]. – Минск: БНТУ, 2005. – Ч. 1.
2. Герасимович, А.И. Математический анализ. / А.И. Герасимович, Н.А. Рысюк. – Минск: Вышэйшая школа, 1990. – Ч. 1, 2
3. Гусак, А.А. Высшая математика: в 2 т. / А.А. Гусак. – Минск: Изд-во БГУ, 1978, 1983. – Т. 1, 2.
4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – Ч. 1, 2.
5. Жевняк, Р.М. Высшая математика: в 2 ч. / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук. –Минск: Вышэйшая школа, 1985. – Ч. 1, 2.
6. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Наука, 1989.
7. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: в 3 т. / Н.С. Пискунов– М.: Наука: 1985. – Т. 1–3.
8. Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике: учебное пособие: в 2 ч. / Т.А. Сухая. – Минск: Вышэйшая школа, 1993.
9. Высшая математика для инженеров / С.А. Минюк [и др.]; под ред. Н.А. Микулика. – Минск: Элайда, 2007. – Т. 1, 2.
10. Индивидуальные задания по высшей математике: в 4 ч. / под ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2004.
11. Щипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Щипачев. – М.: Высшая школа, 1985.
СОДЕРЖАНИЕ
| ПРОГРАММА.................................................. | ||||
| 1. | НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.............................. | |||
| 1.1. | Понятие неопределенного интеграла....................... | |||
| 1.2. | Основные методы интегрирования......................... | |||
| 1.2.1. | Непосредственное интегрирование функций и метод поднесения под знак дифференциала................. | |||
| 1.2.2. | Интегрирование заменой переменной (подстановкой)... | |||
| 1.2.3. | Интегрирование при помощи тригонометрических подстановок...................................... | |||
| 1.2.4. | Интегрирование по частям.......................... | |||
| 1.2.5. | Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен знаменателе............................... | |||
| 1.2.6. | Интегрирование рациональных дробей............... | |||
| 1.2.7. | Интегрирование тригонометрических функций......... | |||
| 1.2.8. | Интегрирование иррациональных функций............ | |||
| 1.2.9. | Интегрирование дифференциальных биномов.......... | |||
| 2. | ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ................................ | |||
| 2.1. | Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по час |
