Пример 1.12

Пример 1.13. Вычислить интеграл .

Решение. Обозначим интеграл

Из последнего равенства выразим искомый интеграл K:

здесь и – произвольные постоянные.

Пример 1.14. Вычислить интеграл

Решение. Обозначим интеграл

Значит, получено равенство , откуда выражаем искомый интеграл

1.2.5. Интегрирование функций,

содержащих квадратный трехчлен в знаменателе

Интегралы вида

и

приводятся к табличным путем выделения полного квадрата в знаменателе дроби.

Пример 1.15. .

Для вычисления интегралов вида

и

надо сначала в числителе дроби выделить дифференциал трехчлена , то есть выражение .

Пример 1.16.

.

1.2.6. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной функцией R (x) называется функция, равная отношению двух многочленов:

,

где m и n – целые положительные числа;

.

Если m < n, то R (x) называется правильной дробью, если m ³ n, – неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби:

,

где , , – многочлены,

– правильная дробь, l < n.

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей.

Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырех типов:

где A, a, M, N, p, q – постоянные числа;

k ³ 2; k – натуральное, p ² – 4 q < 0.

Для интегрирования правильной дроби необходимо:

1) разложить знаменатель дроби на простые линейные и квадратичные множители;

2) представить дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами;

3) найти коэффициенты;

4) проинтегрировать простейшие дроби.

Пример 1.17. .

Дробь неправильная, поэтому сначала разделим числитель подынтегральной дроби на знаменатель:

Подынтегральная дробь запишется в виде:

.

Разложим правильную дробь на три простейшие дроби:

.

Приравняв числители, получим тождество:

.

При : .

При : .

При : .

Таким образом,

Пример 1.18. .

В данном примере подынтегральная функция является неправильной дробью. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь:

.

Правильную рациональную дробь представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: .

Приведя дроби к общему знаменателю и приравняв числители дробей в левой и правой частях записанного равенства, получим:

.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем:

откуда , B = 3, C = 12. В итоге получаем

1.2.7. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интеграл вида

,

m, n – целые числа.

1. Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное и положительное, то интеграл находится с помощью подстановок: или .

2. Если m и n – четные положительные числа, то применяются формулы понижения степени:

.