Решение. Полный дифференциал используется для приближенных вычислений значений функции

Полный дифференциал используется для приближенных вычислений значений функции. Так, например, для функции двух переменных , заменив , получим

.

Пример 3.5. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала .

Решение. Рассмотрим функцию . Применив вышеуказанную формулу к этой функции, получим

или, после соответствующих преобразований,

.

Положим теперь x = 2, y = 1, D x = –0,03, D y = 0,02. Тогда

3.3.4. Дифференцирование сложных и неявных функций

Функция z = f (u, v), где u = j(x), v = y(x), называется сложной функцией переменных x и y. Для нахождения частных производных сложных функций испо-

льзуются следующие формулы:

В случае, когда u = j(x), v = y(x), будет: – функция одной переменной и, соответственно,

.

Пример 3.6. Найти частные производные функции , где u = x + y, v = x – y.

Решение. По формуле имеем:

Аналогично

Если уравнение F (x, y) = 0 задает некоторую функцию y (x) в неявном виде и , то

.

Если уравнение задает функцию двух переменных в неявном виде и , то справедливы формулы:

Пример 3.7. Найти частные производные функции z, заданной неявно уравнением .

Решение.

3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Если поверхность задана уравнением z = f (x, y), то уравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности:

,

а каноническое уравнение нормали, проведенной через точку поверхности, таково:

.

В случае, когда уравнение поверхности задано в неявном виде: F (x, y, z) = 0, уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

,

а уравнение нормали

.

Пример 3.8. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к однополостному гиперболоиду в точке P ₀(2; –1; 1).