Тема 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Интегрирование дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными, однородных, линейных, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допуска-ющие понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Свойства линейного дифференциального оператора. Линейно-зависимые и линейно-неза-висимые системы функций. Определитель Вронского.

Линейные однородные дифференциальные уравнения; условие линейной независимости их решений. Фундаментальная система решений. Структура об-щего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоян-ными коэффициентами.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство. Задачи Коши для нормальной системы. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения для решения нормальных систем дифференциальных уравнений.

Системы линейных дифференциальных уравнений; свойства их решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Понятие о качественных методах исследования систем дифференциальных уравнений.

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1. Понятие неопределенного интеграла

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a, b), если во всех точках этого интервала выполняется равенство F¢ (x) = f (x).

Определение 2. Совокупность всех первообразных { F (x) + С }, где С – произвольная постоянная, для функции f (x) называется неопределенным интегралом и обозначается

Функция f (x) называется подынтегральной функцией, выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.

Нахождение для функции f (x) всех ее первообразных F (x) + С называется интегрированием. Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.