Решение. Поэтому уравнение касательной плоскости к данной поверхности запишется в виде или , а уравнение нормали в виде

Поэтому уравнение касательной плоскости к данной поверхности запишется в виде или , а уравнение нормали в виде

или .

3.5. Экстремум функции нескольких переменных

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки P ₀, для всех точек которой, отличных от точки P ₀, выполняется неравенство (соответственно ).

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке P ₀, то в этой точке все частные производные 1-го порядка .

Точки, в которых все частные производные равны нулю, называются стационарными точками функции .

Достаточные условия экстремума. В случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть – стационарная точка функции , причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P ₀ и все ее вторые частные производные непрерывны в точке P ₀. Обозначим

.

Тогда:

1) если D > 0, то в точке функция имеет экстремум, а именно: максимум при A < 0 (C < 0) и минимум при A > 0 (C > 0);

2) если D < 0, то экстремум в точке отсутствует;

3) если D = 0, то требуется дополнительное исследование.

Пример 3.9. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем частные производные 1-го порядка и приравняем их нулю.

Получаем систему:

Решая систему, найдем две стационарные точки и . Найдем частные производные 2-го порядка:

.

Затем составим дискриминант для каждой стационарной точки.

Для точки : ; ; ; . Следовательно, экстремума в точке нет.

Для точки : ; ; ; . Следовательно, в точке функция имеет минимум, равный .

3.6. Наибольшее и наименьшее значения

функции нескольких переменных в замкнутой области

Функция , определенная и непрерывная в замкнутой области D с границей G и дифференцируемая в открытой области D, достигает своего наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов).

Точки глобального экстремума следует искать среди стационарных точек функции f в открытой области D и среди точек границы G.

Пример 3.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области .

Решение. Граница области – окружность радиуса 1. Сделаем чертеж (рис. 3.2).

Окружность разбивает плоскость на две части. Координаты точек круга удовлетворяют неравенству . Найдем стационарные точки функции z в круге.

M2(–2;0)

–1

Рис. 3.2.

Решая эту систему, находим для функции z две стационарные точки и . Кругу принадлежит точка ; .

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции z на окружности . На ней . Имеем . Далее, решая уравнение , находим стационарную точку: .

Итак, получим следующие значения функции z: . Отсюда видно, что .

Если граница G состоит из нескольких частей, то наименьшее и наибольшее значение функции z на границе G следует искать среди наибольших и наименьших значений функции на каждой из частей границы.

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИя ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в виде

или, если разрешить его относительно , в нормальной форме

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

Общим решением уравнения первого порядка называется функция , которая при любом значении постоянной является решением данного уравнения.

Теорема Коши. Если функция определена, непрерывна и имеет не-прерывную частную производную в области D, содержащей точку , то найдется интервал , на котором существует единственное решение дифференциального уравнения y ' = f (x, y) удо-влетворяющее условию .

Пару чисел () называют начальными условиями. Решения, которые получаются из общего решения при определенном значении произвольной постоянной С, называются частными.

Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию при ^,называется задачей Коши.

4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение вида

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Его общим интегралом будет , где – произвольная постоянная.

Уравнение вида

или

а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к уравнениям такого вида, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

Разделение переменных в этих уравнениях выполняется следующим образом: если , то разделим обе части уравнения первого вида на . Если , то умножим обе части уравнения второго вида на и разделим на . В результате получим уравнения с разделенными переменными вида:

Для нахождения всех решений полученных уравнений нужно проинтегрировать обе части полученных соотношений.

Пример 4.1. Решить уравнение .

Решение. Заменим . Разделив переменные и интегрируя, получим

.

Разложим подынтегральную дробь на простейшие:

Отсюда

– общий интеграл уравнения. Выразив из него , имеем общее решение уравнения

.

4.2. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Функция называется однородной функцией n -го измерения относительно переменных x и y, если при любом t справедливо тождество

.

Например: – однородная функция третьего измерения относительно переменных x и y, так как

.

Функция является однородной функцией нулевого измерения, так как . Функция однородной не является, так как для нее условие не выполняется ни при каком n.

Дифференциальное уравнение в нормальной форме называется однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка относительно переменных x и y, если – однородная функция нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме

называется однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка, если функции и – однородные функции одного и того же измерения. При помощи подстановки , где – неизвестная функция, однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 4.2. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Это – однородное уравнение, так как – одно-родная функция нулевого измерения. Положим .

Тогда .

– уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получим

общий интеграл данного уравнения. Разрешив последнее равенство относительно y, получим общее решение .

Пример 4.3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. – однородные функции второго измерения. Подстановка приводит уравнение к виду

.

Интегрируя, получим

– общий интеграл данного уравнения. Найдем частный интеграл, удовлетворяющий условию

– частное решение уравнения.

4.3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка в общем виде можно записать соотношением

,

где P (x), Q (x) заданные непрерывные функции.

Линейное уравнение можно решать с помощью замены

,

где и – неизвестные функции.

Тогда и уравнение примет вид

(4.1)

Функцию v (х) подбираем так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, то есть в качестве v (х) возьмем одно из частных решений уравнения

.

Подставив выражение в уравнение (4.1), получаем уравнение с разделяющимися переменными

.

Найдя общее решение этого уравнения в виде , получим общее решение первого уравнения из подпункта 4.1 .

Пример 4.4. Найти общее решение уравнения

.

Полагаем , тогда и данное уравнение примет вид

Решая уравнение , найдем одно из его частных решений

Подставляя v в уравнение (4.2), получим

Общее решение исходного уравнения таково:

.

4.4. Уравнения Бернулли

Уравнения Бернулли имеют вид

,

где .

Такие уравнения можно проинтегрировать с помощью подстановки или свести к линейным уравнениям с помощью замены .

Пример 4.5. Решить уравнение .

Полагая , приводим уравнение к виду

. (4.3)

Уравнение имеет частное решение .

Подставляя u в уравнение (4.3), получаем уравнение

.

Его общее решение . Общее решение исходного уравнения:

.

Пример 4.6. Решить уравнение Бернулли относительно .

.

Полагая , получим

. (4.4)

Уравнение имеет частное решение . Подставляя значение u в уравнение (4.4), перейдем к уравнению

.

Отсюда .

4.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

(4.5)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , то есть

.

Пусть функции и непрерывно дифференцируемы по y и x соответственно в односвязной области D.

Теорема. Для того, чтобы уравнение (4.5) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

.

Решение уравнения (4.5) в полных дифференциалах можно записать в виде

.

Функция может быть найдена из системы

. (4.6)

Общий интеграл уравнения (4.5) можно представить в виде

,

где .

Пример 4.7. Решить уравнение

Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию . Система (4.6) имеет вид

.

Из первого уравнения этой системы находим

где – произвольная дифференцируемая функция.

Подставляя во второе уравнение системы, имеем

Следовательно, .

Общий интеграл уравнения имеет вид:

.

4.6. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид

или, если оно разрешено относительно , то . Задача нахождения решения данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям

,

называется задачей Коши.

Укажем некоторые виды дифференциальных уравнений, допускающих по-нижение порядка.

1. Уравнение вида . После n -кратного интегрирования полу-чается общее решение.

2. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка включительно:

.

Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц заменой . Уравнение примет вид

.

Из последнего уравнения, если это возможно, определяем , а затем находим y из уравнения k -кратным интегрированием.

3. Уравнение не содержит независимой переменной:

Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на 1.

Все производные выражаются через производные от новой неизвестной функции по y:

и т. д.

Подставив эти выражения в уравнение вместо , получим дифференциальное уравнение -го порядка.

Замечание. При решении задачи Коши во многих случаях нецелесообразно находить общее решение уравнения; начальные условия лучше использовать непосредственно в процессе решения.

Пример 4.8. Решить задачу Коши

.

Решение. Данное уравнение не содержит независимую переменную, поэтому полагаем . Тогда и уравнение принимает вид

.

Пусть , тогда мы получаем уравнение Бернулли относительно

.

Решая его, находим . Из условия при имеем , следовательно, или . Интегрируя это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, имеем . Полагая и , получим , откуда или .

Осталось заметить, что случай не дает решений поставленной задачи Коши.

5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

n -го порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, (5.1)

где .

Для нахождения общего решения уравнения (5.1) составляется характеристическое уравнение

(5.2)

и находятся его корни . Возможны следующие случаи

1. Все корни характеристического уравнения (5.2) действительны и различны. Общее решение уравнения (5.1) выражается формулой

. (5.3)

2. Характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексно-сопряженных корней . В формуле (5.3) соответствующая пара членов заменяется слагаемым

.

3. Действительный корень уравнения (5.2) имеет кратность . Тогда соответствующие r членов в формуле (5.3) заменяются слагаемым

.

4. Пара комплексно-сопряженных корней уравнения (5.2) имеет кратность r. В этом случае соответствующие r пар членов в формуле (5.3) заменяются слагаемым

.

Пример 5.1. Решить уравнение . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение дифференциального уравнения

.

Пример 5.2. Решить уравнение . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение имеет вид

.

Пример 5.3. Решить уравнение . Характеристическое уравнение имеет двукратный корень , поэтому общее решение имеет вид

.

Пример 5.4. Решить уравнение . Характеристическое уравнение имеет корни , . Общее решение уравнения таково

.

5.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид

, (5.4)

где – непрерывная функция.

Пусть уравнение

(5.5)

будет общим решением однородного уравнения (5.1), соответствующего уравнению (5.4). Метод вариации произвольных постоянных состоит в том, что общее решение уравнения (5.4) ищется в виде

,

где – неизвестные функции. Эти функции определяются из системы

где – производные функций . Для уравнения второго порядка данная система имеет вид

Пример 5.5. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общее решение однородного уравнения будет таким: . Положим и . Запишем систему для определения и :

Решая эту систему уравнений, получим:

,

откуда

где – произвольные постоянные.

Общее решение запишется так:

.

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ и СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами

, (6.1)

где – непрерывная функция. Соответствующим однородным уравнением будет

. (6.2)

Пусть

(6.3)

будет характеристическим уравнением для уравнения (6.2). Общее решение y уравнения (6.1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (6.2) и какого-либо частного решения y^* неоднородного уравнения (6.1), то есть

.

1. Если правая часть уравнения (6.1) имеет вид: ,где – многочлен степени n, то частное решение уравнения (6.1) может быть найдено в виде

,

где – некоторый многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз a является корнем характеристического уравнения.

Пример 6.1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составляем характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения. Его корни . Так как число корнем характеристического уравнения не является, то . Степень многочлена в правой части равна единице. Поэтому частное решение ищем в виде

Находим и, подставляя , и y в уравнение, получим (после сокращения на )

.

Откуда находим

Искомое частное решение имеет вид

,

а общее решение уравнения будет

.

2. Если правая часть уравнения (6.1) имеет вид

, (6.4)

где и – многочлены n -й и m -й степени соответственно, тогда:

а) если числа не являются корнями характеристического уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) ищется в виде

, (6.5)

где и – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами и ;

б) если числа являются корнями кратности r характеристического уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) ищется в виде

(6.6)

где и – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами и .