Пример 1.23

7. Если функция , то применяется подстановка cos x = t. Если , то применяется подстановка sin x = t.

Пример 1.24. . Обозначим cos x = t, sin xdx = - dt; тогда

1.2.8. Интегрирование иррациональных функций

1. Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональной функции относительно z подстановкой , где k – общий знаменатель дробей .

2. Интегралы вида Рационализирующая подстановка: , где k – общий знаменатель дробей .

1.2.9. Интегрирование дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл вида

.

1. Если p – целое число, то применяется подстановка , где s – общий знаменатель дробей m и n.

2. Если – целое число, то применяется подстановка ,
где s – знаменатель дроби p.

3. Если – целое число, то применяется подстановка , где s – знаменатель дроби p.

Пример 1.25.

.

Дробь раскладываем на простейшие дроби:

Пример 1.26. .

Так как m = -5, n = 4, p = 1/2, то – целое число. Имеем случай 2 интегрирования дифференциального бинома. Тогда

Раскладываем дробь на простейшие дроби:

.

Приведя дробь к общему знаменателю и приравняв числители, получим

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной
в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
Вычисление площадей плоских фигур

2.1.1. Если f (x) непрерывна на [ a, b ] и F (x) – любая ее первообразная на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница

.

Пример 2.1. Вычислить определенный интеграл .

Решение. .

2.1.2. Если f (x) непрерывна на [ a, b ], а x = j(t) непрерывно дифференцируема на [ c, d ], j¢(t) ¹ 0, j(c) = a, j(d) = b, то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

.

Пример 2.2. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

2.1.3. Пусть u = u (x) и v = v (x) – непрерывно дифференцируемые функции на [ a, b ]. Тогда имеет место формула интегрирования по частям

.

Пример 2.3. Вычислить определенный интеграл .