Дослідження функції за допомогою границь та похідних

Дослідити функцію і побудувати її графік.

1). Область допустимих значень (ОДЗ): , тобто ;

2). Область значень(ОЗ): ;

3). Парність функції: y(x) або -y(x) - функція ні парна, ні непарна.

4). Знайдемо екстремуми функції.

Необхідна умова існування екстремуму-наявність критичних точок (з умови рівності нулю похідної або неіснування похідної у деяких точках): щоб знайти критичні точки, прирівняємо до 0:

=0. Маємо 2 критичні точки: х = -1 та х = -2, але

х = -1 не входить в ОДЗ.

Достатня умова екстремуму: зміна знаку похідної у околі критичної точки.

Перевіримо, чи є точка х = -2 екстремумом: визначимо знак похідної у околі критичної точки:

Очевидно, що х = -2 є екстремумом (точка максимуму). Знайдемо сам екстремум:

. Тобто (-2; -7,4) - точка максимуму.

5). Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат: на вісі

маємо А(0;1)- точка перетину з ОУ. На вісі , але це неможливо, бо .

Точок перетину з віссю ОХ немає.

6). Визначимо асимптоти:

а) вертикальні: вертикальна асимптота є у точці х = а, якщо .Перевіримо точку х = -1:

;

Робимо висновок, що х = -1 є вертикальною асимптотою.

б ) горизонтальні: у функції є горизонтальна асимптота y = c, якщо .

0, тобто горизонтальна асимптота є: y = 0.

в) похилі асимптоти: вони мають вид де = ,

; тобто похилих асимптот

немає, бо y = 0 - це горизонтальна асимптота.

Побудуємо графік:

Таблиця похідних:

1. 10.

2. = 11.

3. 12.

4. 13.

5.