ПРИКЛАД 2

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера (метод визначників), методом Гаусса та матричним, порівняти результати.

= =32+6+6+12-8+12=60;

=64+22+22+44-16+44=180;

=88-24-33+33+44-12*4=88-20-48=60;

=88-33-24-16*3+44+33=88-28=60;

x = = =3 x = = =1 x = = =1

Перевірка

2·3-1-1=4 4=4

3·3+4-2=11 11=11

3·3-2+4=11 11=11

Метод Гаусса:

а) від 3 рядка віднімаємо 2; б) 1-й рядок множимо на 3, а 2-й рядок на –2 і додаємо до 2-го 1-й;

в) 3-й рядок ділимо на –6; г) 3-й рядок множимо на 11 і складаємо з 2-м;

;

-10 х₃ = -10 x₃ = 1;

-11 x_{2 +} х₃ = -10 x₂ = 1;

2 x₁ - х₂ - х₃ = 4 x₁ = 3.

Метод оберненої матриці

А= ; =60

А = ·

x= ; b= ;

А = = 16 – 4 = 12 А = - = - (-4-2) = 6

А = - = - (12 + 6) = -18 А = = 8+3 = 11

А = = -6 –12 = -18 А = - = 1

А = = 2+4 = 6

А = - = +4-3 = 1

А = = 8+3 = 11

А =

Перевірка

А· А = = = ;

X= А ·b= * = ;

x =3;

x =1;

x =1.

2. Елементи векторної алгебри

Завдання з векторної алгебри спрямовані на засвоєння основних означень векторної алгебри, скалярного, векторного і мішаного добутків.

Вектор – величина , повністю визначена своїм напрямом і довжиною. Проекції вектора на координатні осі називають його координатами (декартовими): =().

Якщо відомі координати початку і кінця вектора , де M() та N(), то за формулою (або ) можна визначити його модуль (довжину).

Якщо - кути, що складає вектор з осями координат, то є напрямними косинусами вектора .

Тоді , , і .

Орт вектора позначається , а .

Скалярним добутком двох векторів і називають число, що дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними:

.

В координатній формі скалярний добуток має вигляд: ,

тому косинус кута можна знайти за формулою:

.

Властивості скалярного добутку:

1) (комутативність);

2) (дистрибутивність);

3) (для будь-якого l);

4) .

Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Вектори паралельні, якщо їх координати пропорційні.

Щоб знайти проекцію вектора на вектор , ми користуємося формулою пр Векторним добутком векторів і називають новий вектор , який визначається трьома умовами:

1) ;

2) перпендикулярний як до , так і до ;

3) впорядкована трійка векторів , та , відкладених від однієї точки, утворює правий базис (правило “буравчика”).

В координатній формі .

Властивості векторного добутку:

1) ;

2) ;

3) ;

4) (якщо вектори та паралельні).

Площу паралелограма, побудованого на векторах та , обчислюємо за формулою:

S_парал.= , а площу трикутника можна обчислити за формулою S_трик.= .

Мішаним (скалярно-векторним) добутком трьох ненульових некомпланарних векторів , та називають число, абсолютна величина якого дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, що виходять з однієї точки.

Це число додатнє, якщо трійка векторів утворює правий базис.

В координатній формі мішаний добуток знаходимо як визначник: .

Властивості мішаного добутку: ;

Якщо вектори , та компланарні (тобто належать одній або паралельним площинам), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Якщо вектор можна представити у вигляді , де - деякі числа, що одночасно не дорівнюють нулю, то говорять, що вектор розкладений за векторами .

Теорема. Нехай маємо три некомпланарні вектори , та . Будь-який вектор може бути єдиним образом розкладений за цими векторами, тобто існують єдині такі числа , що .

У координатній формі це рівняння перетворюється у систему лінійних рівнянь, де невідомими є числа .