Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Если (L) – кусочно-гладкий контур, ограничивающий на плоскости Оху область (S), a P(x, y), Q(x,y) – функции, непрерывные в замкнутой области и имеющие в ней непрерывные частные производные, то справедлива формула Грина

, (7.8)

где обход контура выбирается так, чтобы область (S) оставалась слева.

Криволинейный интеграл ,

где контур (L) целиком лежит внутри некоторой односвязной области (S), в которой функции P(x, y), Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными, не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда

. (7.9)

В этом случае подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции

и , (7.10)

где - соответственно начальная и конечная точки пути интегрирования. В частности, криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю:

.

Криволинейный интеграл

, (7.11)

где контур (L) целиком лежит внутри некоторой односвязной области (V), в которой функции P(x, y, z), Q(x,y, z), R(x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными, не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда

, , . (7.12)

В этом случае подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции:

и . (7.13)

В частности, криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю: .