Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Двойной интеграл. На плоскости Оху рассмотрим область (S) площадью S, ограниченную замкнутой кривой (рис



На плоскости Оху рассмотрим область (S) площадью S, ограниченную замкнутой кривой (рис. 1). Пусть в этой области определена функция z=f(x, y). Разобьём область (S) сеткой линий на конечное число областей , площади которых соответственно. В каждой i-ой элементарной области выберем произвольно одну точку , значение функции в этой точке умножим на величину площади соответствующей области и все произведения сложим.

а). б).

       
   


Рисунок 1

Полученная сумма

называется интегральной суммой функции f(x, y) в области (S).

Двойным интегралом от функции f(x, y) по области (S) называется конечный предел I интегральной суммы при , где - наибольший из диаметров элементарных областей :

.

Обозначения двойного интеграла:

, .

Функция z=f(x, y), для которой предел интегральной суммы существует и конечен, называется интегрируемой.

Если функция z=f(x, y) непрерывна в области (S), то она является интегрируемой в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла: если , то двойной интеграл от функции z=f(x, y) по области (S) равен объёму тела, ограниченного сверху поверхностью

z=f(x, y), снизу плоскостью z=0, с боков

цилиндрической поверхностью, образующие

которой параллельны оси Оz, а

направляющей служит контур

фигуры (S) (рис. 2).

Механический смысл двойного интеграла:

двойной интеграл от функции z=f(x, y)>0 по области

(S) представляет собой массу фигуры (S), если

подынтегральную функцию f(x, y) считать плотностью Рисунок 2

этой фигуры в точке М(х, у).

Свойства двойного интеграла:

1) ;

2) ;

3) если , то ;

4) ;

5) , где - области, на которые разбита область (S);

6) если в области (S) , то

, откуда

.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 188 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...