![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
На плоскости Оху рассмотрим область (S) площадью S, ограниченную замкнутой кривой (рис. 1). Пусть в этой области определена функция z=f(x, y). Разобьём область (S) сеткой линий на конечное число областей
, площади которых
соответственно. В каждой i-ой элементарной области
выберем произвольно одну точку
, значение функции в этой точке
умножим на величину площади
соответствующей области и все произведения сложим.
а). б).
![]() | ![]() |
Рисунок 1
Полученная сумма
называется интегральной суммой функции f(x, y) в области (S).
Двойным интегралом от функции f(x, y) по области (S) называется конечный предел I интегральной суммы при
, где
- наибольший из диаметров элементарных областей
:
.
Обозначения двойного интеграла:
,
.
Функция z=f(x, y), для которой предел интегральной суммы существует и конечен, называется интегрируемой.
Если функция z=f(x, y) непрерывна в области (S), то она является интегрируемой в этой области.
Геометрический смысл двойного интеграла: если , то двойной интеграл от функции z=f(x, y) по области (S) равен объёму тела, ограниченного сверху поверхностью
z=f(x, y), снизу плоскостью z=0, с боков
цилиндрической поверхностью, образующие
которой параллельны оси Оz, а
направляющей служит контур
фигуры (S) (рис. 2).
Механический смысл двойного интеграла:
двойной интеграл от функции z=f(x, y)>0 по области
(S) представляет собой массу фигуры (S), если
подынтегральную функцию f(x, y) считать плотностью Рисунок 2
этой фигуры в точке М(х, у).
Свойства двойного интеграла:
1)
;
2) ;
3) если , то
;
4) ;
5) , где
- области, на которые разбита область (S);
6) если в области (S) , то
, откуда
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 188 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!