Двойной интеграл. На плоскости Оху рассмотрим область (S) площадью S, ограниченную замкнутой кривой (рис

На плоскости Оху рассмотрим область (S) площадью S, ограниченную замкнутой кривой (рис. 1). Пусть в этой области определена функция z=f(x, y). Разобьём область (S) сеткой линий на конечное число областей , площади которых соответственно. В каждой i-ой элементарной области выберем произвольно одну точку , значение функции в этой точке умножим на величину площади соответствующей области и все произведения сложим.

а). б).

Рисунок 1

Полученная сумма

называется интегральной суммой функции f(x, y) в области (S).

Двойным интегралом от функции f(x, y) по области (S) называется конечный предел I интегральной суммы при , где - наибольший из диаметров элементарных областей :

.

Обозначения двойного интеграла:

, .

Функция z=f(x, y), для которой предел интегральной суммы существует и конечен, называется интегрируемой.

Если функция z=f(x, y) непрерывна в области (S), то она является интегрируемой в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла: если , то двойной интеграл от функции z=f(x, y) по области (S) равен объёму тела, ограниченного сверху поверхностью

z=f(x, y), снизу плоскостью z=0, с боков

цилиндрической поверхностью, образующие

которой параллельны оси Оz, а

направляющей служит контур

фигуры (S) (рис. 2).

Механический смысл двойного интеграла:

двойной интеграл от функции z=f(x, y)>0 по области

(S) представляет собой массу фигуры (S), если

подынтегральную функцию f(x, y) считать плотностью Рисунок 2

этой фигуры в точке М(х, у).

Свойства двойного интеграла:

1) ;

2) ;

3) если , то ;

4) ;

5) , где - области, на которые разбита область (S);

6) если в области (S) , то

, откуда

.