Вычисление тройного интеграла

Если область интегрирования (V) определяется неравенствами: , , , где , - непрерывные функции своих аргументов, то тройной интеграл вычисляется по формуле:

. (6.1)

Область (V) ограничена сверху поверхностью , снизу поверхностью , а с боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, вырезающей из плоскости Оху область , определённую неравенствами , (рис. 1).

Отметим, что порядок интегрирования может быть изменён. Тройной интеграл вычисляется шестью различными способами: в формуле (6.1) первое интегрирование совершается по z, второе – по у, третье – по х; сохранив первое интегрирование по z, можно поменять местами второе и третье; далее, в первую очередь можно выполнить интегрирование по х, а также по у.

В частном случае, если функции , являются постоянными , , то область интегрирования представляет собой прямоугольный параллелепипед, и формула (6.1) принимает вид:

.

Если ограниченная замкнутая область (V) пространства Oxyz взаимно однозначно отображается на область пространства с помощью непрерывно дифференцируемых функций x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w) и якобиан

(6.2)

в области не обращается в нуль, т.е. , то замена переменных в тройном интеграле осуществляется по формуле

. (6.3)

В частности, при переходе от декартовых координат x, y, z к цилиндрическим координатам (рис. 2), связанным с x, y, z формулами: , , , , , якобиан преобразования , поэтому

. (6.4)

При переходе от декартовых координат x, y, z к сферическим координатам (рис. 3), связанным с x, y, z формулами: , , , , , якобиан преобразования , и формула (6.3) принимает вид:

. (6.5)