Тройной интеграл

Рассмотрим замкнутую пространственную область (V) и функцию f(x, y, z), определённую в этой области. Область (V) разобьём произвольным способом на n элементарных областей диаметрами и объёмами . Наибольший из диаметров обозначим буквой d. В каждой элементарной области выберем произвольно одну точку и составим произведение .

Интегральной суммой для функции f(x, y, z) по области (V) называется сумма вида .

Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области (V) называется конечный предел интегральной суммы при :

.

Если функция f(x, y, z) непрерывна в области (V), то указанный предел существует и конечен (он не зависит от способа разбиения области (V) на элементарные области и выбора точек ).

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

В прямоугольных декартовых координатах тройной интеграл обычно записывается в виде

.