Квадратичной зависимости величин

В результате измерений двух зависимых величин х и у получена следующая таблица их значений:

х				…
у				…

Будем рассматривать и как прямоугольные декартовы координаты точек на плоскости: , , …, . Допустим, что эти точки расположены почти на некоторой параболе. Естественно в этом случае предположить, что между х и у существует квадратичная зависимость, т.е.

, (4.6)

где a, b, с – некоторые постоянные коэффициенты (параметры), подлежащие определению.

Если в правую часть формулы вместо х подставить его значения из данной таблицы, то получим числа .

Было бы идеально подобрать параметры a, b, с так, чтобы при всех i выполнялось равенство . Однако при n>3 этого обычно сделать не удаётся, так как значения a, b, с, найденные из уравнений

, , ,

как правило, не удовлетворяют уравнениям

, …, .

Другими словами, , где - некоторые числа, называемые погрешностями.

Параметры формулы (4.6) выберем так, чтобы сумма квадратов погрешностей

была наименьшей. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия: , , . Находя частные производные функции u по a, b, с, приравнивая их к нулю, получаем так называемую нормальную систему:

(4.7)

Из системы (4.7) определяются параметры a, b, с эмпирической формулы (4.6).