Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы первого рода. Рассмотрим пространственную кусочно-гладкую кривую, ограниченную точками А и В (рис. 1), и определённую на ней непрерывную функцию

f(x, y, z)=f(M), где М(x, y, z) – точка кривой. Дугу АВ разобьём точками на n элементарных дуг , длины которых обозначим соответственно , а наименьшую из этих длин - . На каждой из элементарных дуг выберем произвольно одну точку и составим сумму

, (1)

называемую интегральной суммой для функции f(x, y, z) по длине дуги кривой АВ.

Криволинейным интегралом первого рода от функции f(x, y, z) по кривой АВ называется предел интегральной суммы (1) при :

.

На кривой АВ, целиком лежащей на плоскости Оху, функция f от координаты z не зависит, поэтому по определению имеем

.

Если подынтегральную функцию

рассматривать как линейную

плотность кривой АВ, то криволинейный

интеграл первого рода представляет собой

массу этой кривой.

Рисунок 1.

Основные свойства криволинейного интеграла первого рода:

1) криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления пути интегрирования: ;

2) ;

3) , ;

4) если путь интегрирования L разбит на части , то .

Криволинейные интегралы второго рода. Пусть дана дуга пространственной кусочно-гладкой кривой, ограниченная точками А и В (рис. 1), и определённая на ней непрерывная вектор- функция

. (2)

Дугу АВ разобьём точками на n элементарных дуг . На каждой из элементарных дуг выберем произвольно одну точку ; значения функций , , в этой точке умножим на проекции данной дуги соответственно на оси Ох, Оу, Oz, которые обозначим через , причём , , . Из полученных произведений составим сумму

, (3)

называемую интегральной суммой по координатам для вектор – функции (2). Обозначим через длину наибольшей из проекций .

Криволинейным интегралом второго рода, взятым по кривой L или по пути АВ, называется предел интегральной суммы (3) при :

.

На кривой L, целиком лежащей в плоскости Оху, функции P, Q, R не зависят от z, , , поэтому

.

Если функции P, Q, R рассматривать как проекции некоторой переменной силы на координатные оси, то криволинейный интеграл второго рода выражает работу силы , точка приложения которой описывает кривую L.

Криволинейный интеграл второго рода зависит от выбора направления обхода кривой; если изменить направление обхода, то интеграл меняет знак:

.

Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны формулой

, (4)

где - углы между соответствующими осями координат и направлением касательной к линии АВ, отвечающим направлению интегрирования для интеграла в левой части равенства (4).