Приложения двойного интеграла

Площадь S плоской области (S) вычисляется по формуле

или . (5.11)

Объём цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z=f(x, y), снизу плоскостью z=0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область (S) (см. рис. 2), вычисляется по формуле

. (5.12)

Площадь S гладкой поверхности z=z(x, y) выражается формулой

, (5.13)

где (Р) – проекция данной поверхности на плоскость Оху.

Площадь S поверхности, заданной уравнением F(x, y, z)=0, выражается двойным интегралом:

,

где (Р) – проекция данной поверхности на плоскость Оху.

Если (S) – область плоскости Оху,на которой распределена масса с поверхностной плотностью , то масса m этой области (пластинки) определяется формулой

, (5.14)

а статические моменты и относительно осей Ох и Оу – формулами:

, . (5.15)

Если - центр тяжести пластинки, то

, , (5.16)

где m – масса пластинки; , - статические моменты относительно осей координат.

Если пластинка однородна, т.е. , то формулы (5.16) принимают вид:

, .

Моменты инерции пластинки (S) относительно осей Ох и Оу выражаются соответственно формулами:

, , (5.17)

а её момент инерции относительно начала координат – формулой

. (5.18)