Экстремум функции нескольких переменных

Максимумом (минимумом) функции z=f(x, y) в точке называется такое её значение f(x , y ), которое больше (меньше) всех других её значений, принимаемых в точках М(х, у), достаточно близких к точке и отличных от неё.

Максимум и минимум функции называются её экстремумом. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Экстремум функции трёх и более переменных определяется аналогично.

Необходимые условия экстремума. В точке экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных её частные производные равны нулю.

Если - точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x, y), то

f (x , y )=0, f (x , y )=0. (3.11)

Из этой системы равнений находят стационарные точки. Система (3.11) эквивалентна одному уравнению

df(x , y )=0. (3.12)

В общем случае в точке экстремума функции z=f(x, y) или выполняется равенство (3.12), или дифференциал df(x , y ) не существует.

Достаточные условия экстремума. Пусть - стационарная точка, т.е. точка, для которой выполняется равенство (3.12), тогда:

1) если , (3.13)

то f(x , y ) – максимум функции z=f(x, y);

2) если , (3.14)

то f(x , y ) – минимум функции z=f(x, y).

Эти условия эквивалентны следующим. Пусть f (x , y )=0,

f (x , y )=0 и

, , , (3.15)

, (3.16)

тогда:

1) если , то функция f(x, y) имеет экстремум в точке : максимум при А<0 (или C<0), минимум при A>0 (или C>0);

2) если , то экстремума в точке нет.

Для функции трёх и более переменных необходимые условия экстремума аналогичны условиям (3.11), а достаточные – условиям (3.13), (3.14).

Если необходимо найти экстремум функции нескольких переменных, которые связаны между собой одним или несколькими уравнениями (число уравнений должно быть меньше числа переменных), то говорят об условном экстремуме. При решении задачи можно пользоваться методом неопределённых множителей Лагранжа.

Чтобы найти условный экстремум функции z=f(x, y) при наличии уравнений связи , составляют функцию Лагранжа

, (3.17)

где - неопределённый постоянный множитель, и ищут её экстремум.

Необходимые условия экстремума функции (3.17) выражаются системой трёх уравнений (3.18)

с тремя неизвестными х, у, .

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа

для испытуемой системы значений х, у, , полученной из системы (3.18) при условии, что dx, dy связаны уравнением

().

Функция f(x, y) имеет условный максимум, если , и условный минимум, если .

Аналогично находится условный экстремум функции трёх или более переменных при наличии уравнений связи. Если, например, требуется найти экстремум функции u=f(x, y, z) при условиях

, , (3.19)

то вводят функцию

и к уравнениям (3.19) присоединяют ещё три: , , .