Семейства поверхностей и их огибающие

Однопараметрическим семейством линий, лежащих в плоскости Оху, называется множество линий, определяемое уравнением

F(x, y, С)=0, (3.7)

в котором параметр С может принимать различные действительные значения (при каждом фиксированном значении С получаем определённую линию семейства).

Огибающей семейства линий называется такая линия, которая в каждой своей точке касается некоторой линии этого семейства.

Множество всех точек, удовлетворяющих системе уравнений

F(x, y, С)=0, F (x, y, С)=0, (3.8)

называется дискриминантной линией семейства (3.7).

Если в точках дискриминантной линии частные производные и одновременно в нуль не обращаются, то дискриминантная линия совпадает с огибающей семейства.

Множество линий, определяемое уравнением

,

где - независимые параметры, называется n-параметрическим семейством линий (параметры называются независимыми или существенными, если их число нельзя уменьшить путём введения новых параметров).

Однопараметрическим семейством поверхностей называется множество поверхностей, определяемое уравнением

F(x, y, z, С)=0. (3.9)

Огибающей семейства поверхностей называется поверхность, которая в каждой своей точке касается некоторой поверхности этого семейства.

Огибающая семейства поверхностей (3.9) удовлетворяет системе уравнений

F(x, y, z, С)=0, F (x, y, z, С)=0. (3.10)