Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.

Для функции двух переменных z=f(x, y), по определению, имеем:

(частная производная по х);

(частная производная по y).

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.

Если полное приращение функции z=f(x, y) в точке представимо в виде

,

где P, Q – постоянные; ; при , то называют полным дифференциалом данной функции в этой точке и обозначают через : . Следовательно,

, при . (2.1)

Функция, обладающая непрерывными частными производными, имеет полный дифференциал, причём , . Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е.

, .

Полный дифференциал функции z=f(x, y) вычисляется по формуле

.

Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируемой.

Из формулы (2.1) следует, что , или

,

откуда .

Полный дифференциал функции трёх переменных определяется аналогично и вычисляется по формуле

. (2.2)