Дифференцирование неявных и сложных функций

Функция u от n переменных называется неявной, если она задана уравнением

, (2.4)

не разрешённым относительно u.

Частные производные неявной функции, заданной уравнением (2.4), определяются формулами:

, , …, .

В частности, если у – функция одной переменной х, заданная уравнением F(x, y)=0, то

; (2.5)

если z – функция двух переменных х, у, заданная уравнением F(x, y, z)=0, то

, .

Если ,

где , , …, , то функция u называется сложной функцией независимых переменных . Переменные называются промежуточными аргументами.

Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений частных производных по промежуточным аргументам и частных производных этих аргументов по данной независимой переменной:

(2.6)

Если все промежуточные аргументы являются функциями одной независимой переменной t, то функция (2.4) будет сложной функцией от t. Полная производная этой функции находится по формуле:

.