Предел функции нескольких переменных. Непрерывность

Число а называется пределом функции z=f(x, y) в точке , если при любом существует , такое, что для всех точек М(х, у), отстоящих от меньше, чем на , выполняется неравенство

.

Обозначения предела функции:

, .

Для того чтобы функция f(M) имела предел в точке , необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности точек имеющей пределом , существовал предел , причём значение должно быть одно и то же для всех последовательностей, сходящихся к .

Аналогично определяется предел функции трёх и более переменных.

Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке , если выполняется равенство

,

которое можно переписать так:

или

,

где - расстояние между точками и .

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в данной области.

Если в некоторой точке N(x, y) не выполняется условие непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции z=f(x, y).

Нарушение условий непрерывности функции z=f(x, y) может происходить как в отдельных точках, так и в точках, образующих некоторую линию (линия разрыва).