Область определения функции нескольких переменных. Частное и полное приращение

Глава 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Функции нескольких переменных

При изучении различных проблем естествознания приходится рассматривать переменные величины, зависящие от многих других переменных величин. Для исследования такого рода зависимостей используются функции нескольких переменных.

Область определения функции нескольких переменных. Частное и полное приращение

Переменная величина z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре допустимых значений х и у соответствует единственное значение z.

Обозначения функции двух переменных: z=f(x, y), , z=F(x, y), z=z(x, y) и т.п.

Значение функции z=f(x, y) при х=а и y=b обозначается f(a, b).

Совокупность значений х, у называют точкой М(х, у), а функцию двух переменных – функцией точки и пишут z=f(M).

Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в пространстве.

Частные приращения функции z=f(x, y) определяются формулами:

а полное приращение – формулой

.

Линией уровня функции z=f(x, y) называется геометрическое место точек плоскости Оху, в которых данная функция принимает одно и то же значение, т.е.

f(x, y)=C. (1.1)

Переменная величина u называется функцией трёх переменных величин x, y, z, если каждой тройке значений x, y, z соответствует единственное значение u.

Аналогично определяется функция n переменных .

Множество всех точек, в которых определена функция n переменных, называется областью определения функции.