Означення . Вектор називається лінійною комбінацією векторів 1 , 2,... , n , якщо існують такі числа a1 ,a2 ,... ,an , що

=a_{1 1} + a_{2 2} +... + a_{n n}.

Означення. Система векторів ₁, ₂,^... , _к називається лінійно залежною, якщо існують числа a₁ ,a₂,^... ,a_к, які не всі водночас дорівнюють нулю, такі що

a_{1 1} + a_{2 2} +... + a_{к к} =0

Система векторів ₁, ₂,^... , _к називається лінійно незалежною, якщо остання рівність виконується тільки в одному випадку, коли a₁ ,a₂,^... ,a_к = 0.

Застосуємо ці поняття до геометричних векторів.

Теорема 1. Два вектори і лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення.

1) Якщо 2 вектори неколінеарні, то вони лінійно незалежні;

Для будь –якого вектора , що відрізняється від , і для будь –якого колінеарного йому вектора завжди можна знайти таке число a, при якому

= a (1)

Теорема 2. Три ненульові вектори , , лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Доведення.

1) Якщо 3 вектори некомпланарні, то вони лінійно незалежні.

Для будь – яких векторів і і будь-якого компланарного їм вектора завжди можна знайти такі числа a і β, при яких

= a + β (2)

Теорема 3. Будь – які чотири вектори лінійно залежні.

Доведення. Нехай дано 4 вектори , , , .Якщо яка – небудь трійка векторів з них компланарна, то усі 4 вектори лінійно залежні.

Нехай ніякі 3 з 4-х векторів некомпланарні.

С

Д

В

0

Е

А

Приведемо всі вектори до загального початку- точці 0. Через кінець вектора (т. Д) проведемо пряму паралельну . Ця пряма перетне площину, в якій лежать вектори і в деякій точці Е. Через точку Е проведемо прямі, паралельні і Вони перетнуть прямі на яких лежать ці вектори в точках А і В. Через точку Д проведемо пряму ||ОЕ. Ця пряма перенесе пряму, на яких лежать вектор , в точці С.

Þ

Для будь-яких некомпланарних векторів , і і будь-якого вектора завжди можна знайти такі числа α, β і γ, при яких (3)

З трьох доведенних теорем випливає, що ранг (кількість незалежних векторів) системи векторів не перевищує числа 3, а саме: ранг системи колінеарних векторів дорівнює 1, ранг системи компланарних векторів дорівнює 2, ранг просторової системи векторів, в якій хочаб одна трійка векторів некомпланарна, дорівнює 3.

Означення: Базисом системи векторів називається така її підсистема, яка 1) лінійно незалежна; 2) кожен вектор системи лінійно виражається через вектори цієї підсистеми.

Кількість векторів базису співпадає з рангом системи.

З наведених теорем випливає:

1. В системі колінеарних векторів як базис може бути узятий будь-який ненульовий вектор . Тоді будь-який інший вектор лінійно виражається через базисний за формулою (1).

2. В системі компланарних векторів як базис можуть бути узяті будь-які не колінеарні вектори і . Тоді будь-який інший вектор лінійно виражається через базисні вектори за формулою (3).

3. В систеиі просторових векторів як базис можуть бути узяті будь-які некомпланарні вектори , і . Тоді будь-який іншй вектор лінійно виражається через базхисні вектори за формулою (3).

Формули (1), (2), (3)- це формули розкладання вектора за базисом. Коефіцієнти розкладання називаються коефіцієнтами вектора в даному базисі. В 1-му випадку координатами вектора є число α: = (α). В другоиу випадку координатами вектора є числа α, β і γ: =(α, β і γ).Таким чином, базис дає змогу кожен вектор однозначно зобразити рядком чисел – координат цього вектора. Це зображення дозволяє виконувати над векторами лінійні операції за правилами лінійних операцій над матрицями – рядками:

якщо = (α ₁,α₂,α₃) = (β₁, β₂, β₃) в деякому базисі, то

+ = (α ₁+ β₁, α₂ +β₂, α₃ +β₃);

γ = (γα ₁,γα ₂,γα ₃ )

Приклад. Довести, що вектори ₁, ₂, ₃, утворюють базис у тривимірному просторі та знайти координати вектора в цьому базисі:

₁= (3; -2; 1), ₂ = (-1; 1; -2); ₃ = (2; 1; -3); = (11; -6; 5)

Перевіремо необхідність і дост. умову компланарності векторів _{1 2 3}

3 -2 1

_{1 2 3} = -1 1 -2 = -9 –1 + 8 –2 + 6 + 6 = 8 ¹ 0Þ ₁, ₂, ₃ –

2 1 -3

некомпланарні, тому вони лінійно незалежні і утворюють базис.

Розкладемо вектор за базисом _{1 2 3} :

= х_{1 1} + х_{2 2} + х_{3 3},

або в кординатному вигляді:

(11; -6; 5) = (3; -2; 1) Х₁ + (-1; 1; -2)Х₂ + (2; 1; -3)Х₃

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому одержимо систему:

3х₁ – х₂ + 2х₃ =11 3 -1 2 11 1 -2 -3 5

-2х₁ + х₂ + х₃ = -6 -2 1 1 -6 ~ 0 5 11 –4 ~

х₁ – 2х₂ – 3х₃ = 5 1 -2 -3 5 0 3 5 -4

1 -2 -3 5 1 0 0 2 х₁= 2, Отже,

~ 0 1 - ~ 0 1 0 -3 Þ х₂ =-3, = 2 ₁ - 3 ₂ + ₃

0 0 1 1 х₃ = 1 = (2; -3; 1)

0 0 -

5. Координати точок і векторів в прямокутній декартовій системі координат.

У просторі геометричних векторів як базис можуть бути узяті будь-які 3 некомпланарні вектори. Якщо їх співвіднести до загального початку- точки 0 і розглянути сукупність точки 0 і базису, то матимемо декартову систему координат в просторі.

Зауваження: Декартові система координат названа на честь французького математика Рене Декарта.

Декартових систем координат існує стільки, скільки існує трійок не компланарних векторів. Серед множини систем координат виділяють прямокутну декартову систему координат (ПДСК), яка широко використовується.

Як базис у прямокутній ДСК берться упорядкована трійка попарно ортогональних одиничних векторів, яка позначається ( , ).

Означення: Базис називається ортонормованим.

Z

Y

0

X

Означення: Декартові система координат, базис якої ортонормований, називається прямокутною ДСК. (ПДСК). Точка 0- початок координат. Осі, що проходять через початок координат в напрямку базисних векторів – осі координат. Вісь, напрямлена як вектор називається віссю абсцис позначається Ох. Вісь, напрямлена як вектор називається вісю ординат позначається Оу. Вісь, напрямлена як вектор називається віссю аплікат позначається Oz.

Означення: Площини які проходять через осі координат, називаються координатними площинами. Позначаються Oxz, Oyz, Oxy. Координатні площини поділяють простір на вісім октантів. Прямокутна ДСК позначається як Oxyz.

Означення: Прямокутна ДСК називається правою, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від вектора до вектора видно проти годинникової стрілки. Якщо ж з кінця вектора найкоротший поворот від вектора до вектора видно по годинниковій стрілці, то СК називається лівою.

права СК ліва СК

Надалі будемо користуватися правою СК.

Зауваження: У правій СК базисні вектори розташовані так, як розташовані відповідно великий (), вказівний () і середній () пальці правої руки.

Нехай задана ПДСК Оxyz. і довільна точка М.

М

0

Означення: Радіус- вектором точки М називається вектор, , що йде від початку координат О до т.М. Розкладемо вектор за базисом

Означення: Координатами точки М в ПДСК називаються координати її радіус-вектора . Точка М з координатами X, Y, Z, позначається через М(x; y; z).

Нехай в ПДСК Оxyz задано вектор . Розкладемо вектор за базисом ;

В

А

де числа - координати . Але ; ; .

Означення: Координатами вектора в ПДСК називаються числові проекції вектора на осі координат. Вектор з координатами , , позначається =(, , ).

Зауваження: Замість проекції на осі координат можна брати проекції на осі, що проходять через початок (т.А) вектора в тому ж напрямку, що й координатні