Властивості скалярного добутку векторів

Алгебраїчні:

1. - комутативність скалярного добутку

2. - асоціативність відносно множення на число

3. дистрибутивність відносно додавання векторів

Геометричні:

4. Якщо і , то , коли кут гострий і , коли - тупий.

5. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори взаємно перпендикулярні:

6. Якщо вектори і колінеарні, то

+, якщо і мають один напрямок

-, якщо протилежний

Зокрема, тобто скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.

З останньої рівності

=

Скалярний добуток в координатній формі.

Нехай вектори і задані координатами в ПДСК:

= а_х а_у =(а_х,а_у,а_z),

= b_х b_у b =(b_х,b_у,b_z), власт. 3

Знайдемо їх скалярний добуток:

^. = (а_х а_у ) ^. ( b_х b_у b ) =а_хb_х + а_хb_у

+
власт.1,5,6

Отже, скалярний добуток двох векторів, заданих координатами в ПДСК,дорівнює сумі

добутків їх відповідних координат:

^. = - скалярний добуток в коорд.формі

За властивістю 6 довжина вектора

Цю ж формулу ми отримали в попередньому питанні іншим способом.

З означення скалярного добутку кут j між векторами і визначається рівністю

соsj = - відношення скал. добутку до добутку довжин,

або у координатній формі

соsj =

Приклад1. Відомо,що

=

Обчислимо

1) ^. = соsj = 3^. 4 (- ) = - 6.

2)

3)

2.Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах

соsj =