Проекція вектора на вісь

Означення. Пряма з заданим напрямом називається віссю. Напрям позначають стрілкою. Заданий напрям вважають доданим, протилежний йому – від’ємним.

х

Означення. Проекцією точки А на вісь Х називається точка Á, в якій перетинаються вісь Х і площина, яка проходить через точку А перпендикулярно до осі Х.

^{. А}

х

Á

Задамо у просторі вісь Х і вектор =

В

А

φ

B Х

Á

Означення. Геометричною проекцією вектора на вісь Х називається вектор

, де - проекції на вісь Х відповідно початку А і кінець В вектора .

Означення.Числовою проекцією вектора на вісь Х називається довжина вектора , яка береться зі знаком +, якщо вектор і вісь Х однаково напрямлені, і зі знаком -, якщо вектор і вісь Х протилежно напрямлені. Позначається пр_х . Якщо = ,то пр_х = 0.

Числова проекція визначається так:

Числова проекція вектора на вісь Х дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута φ між вектором і віссю, тобто

пр_х = соs (, Х ) = соs φ (0 £ j £ Π)

Можливі випадки:

1) Якщо = або j = ,то пр_х = 0.

2) Якщо ¹ 0 і 0 £ j £ , то пр_х = соs φ = > 0;

Якщо ¹ і < j £ , то пр_х = соs φ = - < 0.

Зв’язок між геометричною і числовою проекціями вектора на вісь виражається наступною очевидною рівністю

= пр_х = ^. ,

де - однаково напрямлений з віссю Х вектор одиничної довжини.

Властивості числових проекцій векторів на вісь.

1. Проекція суми векторів на дану вісь дорівнює сумі проекцій векторів – доданків на цю ж вісь:

пр_х ( + ) = пр_х + пр_х Доведення:

В

А = +

С

Á Ć Х

пр_х ( + ) = пр_х = = + = пр_х + пр_х .

2.Проекція добутку вектора на число a на дану вісь дорівнює добутку проекції вектора на це число;

пр_х (a ) = aпр_х

Доведення: Нехай кут між і віссю Х дорівнює j:(,Х) = j .

Тоді якщо a > 0. то

пр_х (a ) = a соs φ = a соs φ = a пр_х ;

якщо a < 0, то

пр_х (a ) = a соs (П- j) = - a соs (П- j) = a соs φ =aпр_х

при a < 0 вектор a напрямлений протилежно і, якщо (,Х) = j , то

(,Х) = П- j,

якщо a = 0, то ліва і права частини перетворюються на 0.

Висновок. Основні властивості числових проекцій вектора на вісь полягають в тому, що лінійним операціям над векторами відповідають лінійні операції над проекціями цих векторів.