Поділ відрізка в даному відношенні

Якщо початок вектора = співпадає з початком координат точкою О, то довжина вектора дорівнює

= = ,

де х,у,z – координати вектора .

Якщо початок вектора = міститься в точці А (х₁ , y_1, z₁), а кінець – в точці В (х₂ , y_2, z₂), то пр_ох = а_х = х₂ – х₁, пр_оу = а_у = y₂ - y₁ ;

пр_оz = a_z = z₂ – z₁, тобто = (х₂ – х₁, y₂ - y₁ , z₂ – z₁).

Тоді довжина вектора = дорівнює

= =

Ця ж формула використовується для знаходження відстані між двома точками А і В.

Означення. Кутом між вектором і віссю називається найменший кут, на який треба повернути вектор, щоб його напрям збігся з додатним напрямом осі.

z

γ

β

о

α у

х

Позначимо куб між вектором і віссю Ох через α, між і Оу – через β,

між і Оz – через γ:

, = β; () = γ

Оскільки пр_ох = а_х = cosa, пр_оу = а_у = cos β, пр_оz = a_z = cos γ, то

cosa = ; cos β = cos γ =

Означення. Косинуси кутів між вектором і осями координат називаються напрямними косинусами вектора .

З формул для обчислення напрямних косинусів випливає:

cos²a+ cos²b + cos² γ = = = 1,

тобто суми квадратів напрямних косинусів довільного вектора дорівнює одиниці.