Дифференциал и его связь с производной. Геометрический и механический смысл дифференциала

Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции - это произведение производной f ’(x ₀) и приращения аргумента :

df = f ’(x ₀) · .

Геометрический смысл дифференциала ясен из рис.2: здесь df = CD

Геометрический и механический смысл дифференциала

На графике функции рассмотрим две точки и (рис.3). Пусть – касательная к графику в точке , – угол ее наклона к оси . Тогда, , .

рис.3

Вывод: дифференциал – это приращение ординаты касательной к графику функции, соответствующее приращению аргумента .

Из чертежа видно, что на малом отрезке , график функции и график касательной близки друг к другу, а значит график функции можно заменить на отрезок касательной. Это значит, что функция заменяется линейной функцией (уравнением касательной), что называется линеаризацией функции.

^ Механический смысл дифференциала. Пусть точка движется прямолинейно по закону , а – путь, пройденный точкой за время . Тогда дифференциал – это путь, пройденный точкой за время , если предположить, что движение равномерное, то есть на промежутке .