Теорема Коши

Рассмотрим,наконец, третью теорему о среднем,принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема.Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует,по крайней мере, одна точка ,в которой .

Доказательство.Так как во всех точках ,то отсюда следует,что .В противном случае, как следует из теоремы Ролля,существовала хотя бы одна точка ,в которой .

Составим вспомогательную функцию

.

Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: .Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля,то есть существует хотя бы одна точка ,в которой .

Вычислим производную :

.

Из условия следует, что

и ,

что и требовалось доказать.

В случае,когда ,теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

Раскрытие неопределенностей

Если функции F(X) И G(X) удовлетворяют на некотором отрезке [ Ab ] условиям теоремы Коши и F(A) = G(A) = 0, то отношение F(X)/G(X) Не определено при Х=а, но определено при остальных значениях Х. Поэтому можно поставить задачу вычисления предела этого отношения при Вычисление таких пределов называют обычно «раскрытием неопределенностей вида {0/0}». Теорема 3 (правило Лопиталя). Пусть функции F(X) и G(X) Удовлетворяют на отрезке [ Ab ] условиям теоремы Коши и F(A)=G(A)=0. Тогда, если существует То существует и Причем Доказательство. Выберем Из теоремы Коши следует, что По условию теоремы F(A)=G(A)= 0, поэтому При . При этом, если существует То существует и Поэтому Теорема доказана. Пример. При A > 0 Замечание 1. Если F(X) Или G(X) Не определены при Х=а, можно доопределить их в этой точке значениями F(A)=G(A)= 0. Тогда обе функции будут непрерывными в точке А, и к этому случаю можно применить теорему 3. Замечание 2. Если F’(A)=G’(A)= 0 и F’(X) И G’(X) Удовлетворяют условиям, наложенным в теореме 3 на F(X) И G(X), к отношению можно еще раз применить правило Лопиталя: И так далее. Пример. Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей вида , то есть для вычисления предела отношения двух функций, стремящихся к бесконечности при Теорема 4. Пусть функции F(X) и G(X) непрерывны и дифференцируемы при в окрестности точки А, причем в этой окрестности. Тогда, если И существует То существует и Причем Доказательство. Выберем в рассматриваемой окрестности точки А Точки A и Х Так, чтобы A < X < A (или A < X < A). Тогда по теореме Коши существует точка С (A < C < X) такая, что Так как Получаем: . Так как Можно для любого малого E выбрать A настолько близким к А, что для любого С будет выполняться неравенство Для этого же значения ε из условия теоремы следует, что Поэтому Перемножим два полученных неравенства: Или Поскольку E – произвольно малое число, отсюда следует, что Что и требовалось доказать. Замечание 1. Теорема 4 верна и при А= . В этом случае Тогда и Следовательно, Замечание 2. Теоремы 3 и 4 можно доказать и для случая, когда . Пример.

37.

38.

39. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функций непрерывной на отрезке

непрерывной НА отрезке

Теорема 1. Функция , непрерывная на отрезке , достигает на нем наибольшего и наименьшего значений.

Теорема 2. Областью значений функции , непрерывной на , является отрезок