![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема.Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует
xО(a,b): gў(x) (f (b) - f (a)) = fў(x) (g (b) - g (a)).
Доказательство.Рассмотрим вспомогательную функцию
F (x) = g (x) (f (b)- f (a)) - f (x) (g (b) - g (a)).
Для этой функции
F (a) = g (a) (f (b) - f (a)) - f (a) (g (b) - g (a)) = g (a) f (b) - f (a) g (b),
F (b) = g (b) (f (b) - f (a)) - f (b) (g (b) - g (a)) = - f (a) g (b) +g (a) f (b),
таким образом, F (a) =F (b) и к ней применима теорема Ролля:существует точка xО(a,b) для которой выполняется равенство
0=F (b) - F (a) =Fў(x) (b-a) = [gў(x) (f (b) - f (a)) - fў(x) (g (b) - g (a))] (b-a).
Следствие.Если gў(x) №0на (a,b), то
.
Доказательство.Если gў(x) №0,то g (b) - g (a) №0.Иначе, в случаеg (b) =g (a), по теореме Ролля нашлась бы точка x,где gў(x) =0.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 224 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!