Теорема Коши. Раскрытие неопределенностей

Теорема.Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует

xО(a,b): gў(x) (f (b) - f (a)) = fў(x) (g (b) - g (a)).

Доказательство.Рассмотрим вспомогательную функцию

F (x) = g (x) (f (b)- f (a)) - f (x) (g (b) - g (a)).

Для этой функции

F (a) = g (a) (f (b) - f (a)) - f (a) (g (b) - g (a)) = g (a) f (b) - f (a) g (b),

F (b) = g (b) (f (b) - f (a)) - f (b) (g (b) - g (a)) = - f (a) g (b) +g (a) f (b),

таким образом, F (a) =F (b) и к ней применима теорема Ролля:существует точка xО(a,b) для которой выполняется равенство

0=F (b) - F (a) =Fў(x) (b-a) = [gў(x) (f (b) - f (a)) - fў(x) (g (b) - g (a))] (b-a).

Следствие.Если gў(x) №0на (a,b), то

.

Доказательство.Если gў(x) №0,то g (b) - g (a) №0.Иначе, в случаеg (b) =g (a), по теореме Ролля нашлась бы точка x,где gў(x) =0.