Механический смысл второй производной

Рассмотрим функцию , предположим, что данная функция имеет производную . В общем случае ее можно считать функцией аргумента . От полученной функции также можно взять производную. В таком случае говорят, что функция имеет вторую производную. Обозначают вторую производную .

От второй производной в общем случае можно взять еще производную, получим производную третьего порядка . Очевидно, что данный процесс можно продолжить.

Определение 4. Производной -го порядка называется производная от производной порядка. Производная от функции называется производной первого порядка.

Производная -го порядка обозначается .

Известно, что тело движется по прямой и путь, пройденный телом, выражен функцией . Ранее было установлено, что скорость тела есть производная пути по времени. Выясним механический смысл второй производной пути по времени. Для этого найдем производную . Придадим моменту времени приращение . Найдем изменение скорости за время , тогда отношение изменения скорости к изменению времени есть среднее ускорение за время . Будем стремить к нулю, тогда получаем – мгновенное ускорение в момент времени . Таким образом , т.е. мгновенное ускорение есть производная скорости по времени или вторая производная пути по времени.