Дифференцирование сложной и обратной функций

Приведем правило по которому можно найти производную сложной функции y = f((t)).

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть
функция x =  (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x =  (t). Тогда сложная функция y = f(  (t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

(f ((t))) ' = f' (x) ' (t).

(3)

Доказательство. Зададим x = (t) отличное от нуля приращение  t. Этому приращению отвечает приращение  x =  (t+ t)- (t) функции x = (t). Приращению  x отвечает приращение  y = f(x+  x)-f(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема, то ее приращение  y представимо в виде (1):

 y =f' (x) x +  ( x)  x,

где lim_{ x 0} ( x) = 0. Поделив данное выражение на  t  0, будем иметь:

 y/  t=f' (x) x/  t+  ( x) x/  t.

Из дифференцируемости функции x =  (t) в точке t вытекает, что

lim_{ t  0} x/  t =  ' (t).

Отметим, что из дифференцируемости функции x = (t) следует, что  x 0 при  t 0. Следовательно, lim_{ t 0} ( x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).

Пример 5. Найти y', если y = 5^{cos x}.

y' = 5^{cos x} (-sin x)ln 5=-5^{cos x} sin x ln 5.

Для нахождения производной обратной функции существует следующее правило, а именно справедлива теорема

Теорема 4 (производная обратной функции). Пусть функция
y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)  0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f^{- 1} (y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f^{- 1} (y) и для ее производной справедлива формула

(f^{- 1}(y)) ' = 1 /f' (x).

Доказательство. Так как функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x, то существует обратная функция x = f^-1(y), которая является строго монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки y = f(x).

Пусть  y 0 приращение для y, а  x - соответствующее приращение обратной функции x = f^-1(y). Тогда справедливо равенство

 x/  y = 1 / ( y/  x).

Переходя к пределу в последнем равенстве при  y 0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции  x 0, получим

lim_{ y  0} x/  y = 1 / (lim_{ x  0} y/  x).

То есть, x'(y) = 1/y'(x).

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M – точка графика функции f(x), (рис.22), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона  касательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной функции (f^-1(y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла наклона  той же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона /2, то формула нахождения производной обратной функции выражает очевидный факт: tg = 1/tg .

Пример 6. Найти x'_y, если y = 2x³+3x⁵+x Имеем y' = 6x²+15x⁴+1, тогда x'_y = 1/y'_x = 1/(6x²+15x⁴+1).