Функция, т.е. непрерывная и имеющая производную во всех точках определения ( ее

можно погладить, не поранив руки). Пример негладкой функции .
Доказательство: по определению
пусть .
С одной

стороны, предел неположителен, с другой - предел

неотрицателен

единственное число, которое может примирить левую и правую части .
.

Теорема Ролля:

Пусть - гладкая функция на

отрезке и , тогда

такая, что .
Доказательство: т.к. функция гладкая, то она

непрерывна. Непрерывная функция достигает своего наибольшего и наименьшего

значения.

1. 
3. , то либо минимум, либо максимум, либо они оба
4. достигаются во внутренней точке по теореме Ферма
5. ч.т.д.

Теорема Лагранжа:

Пусть - гладкая функция

на отрезке , тогда

такая, что .

Можно задать вопрос: “А есть ли прямая, параллельная этой хорде?” Есть, конечно! Производная – угловой коэффициент касательной .

Доказательство:

такая, что ч.т.д.

Следствие теоремы Ролля:

Если , то монотонно возрастает.
Доказательство: пусть
, где .
монотонно возрастает.
Обратное утверждение к теореме

Ферма неверно, т.к. может быть перегиб.
Пример:

35.Применение теоремы Лагранжа к исследованию функции на монотонность.