Производная показательной функции

Теорема 1.

Функция е^х дифференцируема в каждой точке области определения, и

(е^х)' = е^х.

Доказательство.

Найдем сначала приращение функции у = е^х в точке x₀:

Δy = e ^x₀^+Δx — е ^x₀ = е ^x₀ • е ^Δx — е ^x₀ = е ^x₀ (е^{Δ x} — 1).

Пользуясь условием (1), находим:

при Δx → 0

По определению производной отсюда следует, что у' = e^x т. е. (е^x)’= е^х при любом х.

Число е положительно и отлично от 1, поэтому определены логарифмы по основанию е.

Определение.

Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию е:

ln x = log_e х.

(2)

По основному логарифмическому тождеству для любого положительного числа е^{ln a} =а. Поэтому а^х может быть записано в виде

a^x = (e^{ln a})^x = e^{x ln a}. (3)

Выведем формулу производной показательной функции при произвольном значении а.

Теорема 2.

Показательная функция а^х дифференцируема в каждой точке области определения, и

(а^x)'=а^хlп а.

(4)

Доказательство.

Из формулы (3) по теореме о производной сложной функции получаем, что показательная функция дифференцируема в каждой точке и

(a^x)’= (e^{x ln a})’= e^{x ln a}ln a = a^x ln a (5)

Следствие.

Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения, т. е. а^x →а^x₀ при х →х₀.