Производная логарифмической функции

Покажем сначала, что логарифмическая функция дифференцируема в каждой точке. Графики функций y=log_ax и у = а^x симметричны относительно прямой у=х. Так как показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке. А это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения.

Докажем теперь, что производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле

(1)

По основному логарифмическому тождеству х = е^{ln х} при всех положительных х, т. е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция (определенная на R₊). Поэтому производные х и е^{ln x} равны, т. е.

x' = (e^{ln x})' (2)

Известно, что х' = 1. Производную правой части вычисляем по правилу нахождения производной сложной функции и теореме 1: (е^{ln x})'= е^{ln х} ln' x=x ln' x. Подставляя найденные производные в равенство (2), находим l = х ln' х, откуда .

Формула (1) показывает, что для функции на промежутке(0; ∞) любая первообразная может быть записана в виде ln x + С.

Функция имеет первообразную и на промежутке (—∞; 0), это функция ln(—x). Действительно, Так как |x| = х при х>0 и |x| = —х при х<0, мы доказали, что на любом промежутке, не содержащем точку 0, первообразной для функции является функция ln |x|.