Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).

2. При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

(10.7)

Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.

Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.

Теорема 10.1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5) существует и имеет место равенство

. (10.8)

Доказательство.

Запишем Δxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τi: Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (10.5), получим:

.

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от этой функции:

,

что и требовалось доказать.

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов вида , откуда следует, что