Понятие тройного интеграла и его свойства

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл».

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция u=ƒ(х;у;z). Разбив область V сеткой поверхностей на n частей и выбрав в каждой из них произвольную точку М_i(х_i;y_i;z_i), составим интегральную суммудля функции ƒ(х; у; z) по

области V (здесь ∆V_i - объем элементарной области V_i).

Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая «элементарная область» Vi стягивается в точку (т. е. диаметр области d_i стремится к нулю, т. е. di-> 0), то его называют тройным интегралом от функции u=ƒ(х;у;z) по области V и обозначают

Таким образом, по определению, имеем:

Здесь dv=dx dy dz - элемент объема.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

1.

2.

3. если V=V₁ È V_2, а пересечение V₁ и V₂ состоит из границы, их разделяющей.

4. если в области V функция f(x;y;z)>=0. Если в области интегрирования ƒ(х;у;z)>=j(x;y;z), то и

5. , так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.

6. Оценка тройного интеграла:

где m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x;y;z) в области V.

7. Теорема о среднем значении: если функция f(x;y;z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка M_o(x_o;y_o;z_o), что

где V - объем тела.