Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Понятие тройного интеграла и его свойства



Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл».

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция u=ƒ(х;у;z). Разбив область V сеткой поверхностей на n частей и выбрав в каждой из них произвольную точку Мii;yi;zi), составим интегральную суммудля функции ƒ(х; у; z) по

области V (здесь ∆Vi - объем элементарной области Vi).

Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая «элементарная область» Vi стягивается в точку (т. е. диаметр области di стремится к нулю, т. е. di-> 0), то его называют тройным интегралом от функции u=ƒ(х;у;z) по области V и обозначают

Таким образом, по определению, имеем:

Здесь dv=dx dy dz - элемент объема.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

1.

2.

3. если V=V1 È V2, а пересечение V1 и V2 состоит из границы, их разделяющей.

4. если в области V функция f(x;y;z)>=0. Если в области интегрирования ƒ(х;у;z)>=j(x;y;z), то и

5. , так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.

6. Оценка тройного интеграла:

где m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x;y;z) в области V.

7. Теорема о среднем значении: если функция f(x;y;z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка Mo(xo;yo;zo), что

где V - объем тела.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 247 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...