Необходимый признак сходимости числового ряда

Теорема. Если ряд сходится, то un= 0. Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел = S. Тогда имеет место также равенство = S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = un =0, что и требовалось доказать. Следствие. Если un ≠0, то ряд u1+u2+…+un… расходится. Пример. Ряд расходится, так как un = . Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что un =0 не следует, что ряд сходится. Позже докажем, что так называемый гармонический ряд (6) расходится, хотя un = Этот ряд часто будет использоваться в дальнейшем.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Определение 4. Числовой ряд называется знакоположительным, если un >0 при всех n =1,2,3…. Нахождение суммы ряда S = часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближённо: S ≈ Sn. Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов. В этом параграфе будем рассматривать знакоположительные числовые ряды. Для таких рядов частичные суммы S1, S2, …, Sn,… образуют возрастающую числовую последовательность S1 < S2 <…< Sn <…. Возможны два случая: 1) последовательность частичных сумм неограничена; в этом случае = ∞ и ряд расходится; 2) последовательность частичных сумм ограничена, то есть существует такое число С >0, что Sn < C при любых n =1,2,…. В этом случае существует конечный предел , следовательно, ряд сходится. Таким образом, для доказательства сходимости знакоположительного числового ряда достаточно доказать ограниченность последовательности его частичных сумм.   Теорема 4. (Признак сравнения) Пусть даны два знакоположительных числовых ряда (7) (8) причём un≤vn при любых n =1,2,…. Тогда: 1. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7); 2. Если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8).   Доказательство. Обозначим n -е частичные суммы рядов (7) и (8) через Sn и sn соответственно. Пусть ряд (8) сходится. Это значит, что существует конечный =s. По условию теоремы 0< un ≤ vn, поэтому Sn < sn < s при всех n =1,2,…, то есть последовательность { Sn } ограничена, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть теперь ряд (7) расходится, то есть = ∞. Тогда из неравенства Sn < sn следует, что и = ∞, следовательно, ряд (8) расходится. Теорема доказана.   34. Признак сравнения числовых рядов.

Необходимый признак сходимости числового ряда:

Если ряд сходится, то .

Данный признак означает, что если , то ряд расходится. Например, расходится, так как . Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда (гармонический ряд), условие выполнено, но данный ряд расходится.