![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим спрямляемую (т.е. имеющую длину) кривую AB на плоскости (A, B – точки плоскости). Для простоты, считаем что эта кривая задана параметрически , причем
– непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой.
Тогда длина кривой выражается формулой .
Под разбиением T кривой AB будем понимать множество точек , лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от A к B. Пусть
- длина кривой
.
Диаметр d (T) определим как .
Пусть функция определена на кривой AB. Выберем на каждом участке
кривой точку
и образуем сумму
, называемую интегральной.
Определение. Пусть . Если
, то величина I называется криволинейным интегралом первого типа по кривой AB и обозначается так:
.
Важное замечание. Если бы мы совершали движение по кривой не от A к B, а от B к A, то в разбиении T с выбранными точками изменилась бы только нумерация отрезков и точек
, а сама интегральная сумма не изменилась бы, поскольку в ее определении фигурирует лишь длина
участка, которая не зависит от того, в каком направлении проходится участок. Это означает, что
.
В этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла, который менял бы знак при изменении направления обхода кривой.
Сформулируем теорему, сводящую новый пока объект – криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу.
Теорема. Пусть - непрерывная на кривой AB функция (т.е.
- точек кривой таких, что расстояние между
меньше
). Пусть кривая AB параметризована так:
, где
- непрерывные на
функции, причем каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой. Тогда
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 175 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!