Определение 3.7

Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле порождает скалярное поле div .

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского можно представить в форме:

т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы (3.38) можно записать: и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V → 0), имеем:

То есть div есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

Если поток , то в область V втекает большее количество жидкости (если следовать ранее рассмотренному примеру о течении несжимаемой жидкости), чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.

Если П < 0, то внутри области V есть стоки.
Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т.е. при П ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.

Для характеристики точки можно использовать div .

Если div > 0, то данная точка есть источник, если div < 0 – то сток.

Заметим, что div можно записать с помощью символического вектора Гамильтона
в следующем виде:

Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):

где U – скалярная функция.