Второе достаточное условие экстремума

Предполагает существование в точке С отличной от нуля конечной второй производной f’’(x).

Теорема. Пусть f(x) имеет в данной точке С возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда f(x) имеет в точке С максимум, если f’’(C)<0, и минимум, если f’’(C)>0.

Док-во. f’’(C)<0(>0) f’(x) убывает(возрастает) в точке С. Поскольку f’(c)=0, то найдется такая окрестность точки С, пределах которой f’(x) положительна(отрицательна) слева от С, и отрицательна (положительна) справа от С. Но тогда по предыдущей теореме f(x) имеет в точке С максимум(минимум).

Теорема: Первый достаточный признак экстремума функции.

Если f’(x)>0 на интервале (x0-б,х0) и f’(x)<0 на интервале (х0,x0+б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х0, т.е. х0 – точка максимума f(x), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х0 – точка минимума.

Доказательство:

.

Теорема: Второй достаточный признак максимума функции

Если f(x) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х0, и:

1). f’(x0)=0 2). f’’(x0)<0

то х0 точка максимума (аналогично, если f’’(x0)<0, то х0 – точка минимума)

Док-во: Возьмем окрестность, где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядка для х из данной окрестности.