Первое достаточное условие экстремума

Пусть точка С является точкой возможного экстремума функции f(x), и пусть функция f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С. Тогда, если в пределах указанной окрестности производная f’(x) положительна (отрицательна) слева от точки С и отрицательна (положительна) справа от точки С, то функция f(x) имеет в точке С локальный максимум (минимум). Если же производная f’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремумов в точке С нет.

Док-во: 1) пусть f’(x) в пределах рассматриваемой окрестности положительна (отрицательна) слева от С и отрицательна (положительна) справа от С. Требуется доказать, что значение f(C) является наибольшим(наименьшим) среди всех значений f(x) в рассматриваемой окрестности. Обозначим x0 любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности, отличное от С. Достаточно доказать что

f(c)-f(x0)>0 (<0).

Функция f(x) дифференцируема (а стало быть, и непрерывна) на сегменте[С,x0]. Применяя к f(x) на этом сегменте теорему Лагранжа будем иметь:

f(c)-f(x)=f’(ζ)(C-x0), где ζ –некоторое значение аргумента между C и x0. поскольку f’(ζ) положительна (отрицательна) при x0<C и отрицательна (положительна) при x0>C, правая часть положительна (отрицательна).

2) пусть f’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С.

Повторяя проведенные выше рассуждения мы докажем что правая часть f(c)-f(x)=f’(ζ)(C-x0), имеет разные знаки при x0<C и при x0>C. это доказывает отсутсвие экстремума в точке С.

Вытекающее из теоремы f(c)-f(x)=f’(ζ)(C-x0)правило можно кратко сформулировать:

1) если при переходе через данную точку С возможного экстремума производная f’(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функцияf(x) имеет в точке С локальный максимум(минимум)2) если при переходе через данную точку С возможного экстремума производная f’(x) не меняет знака, то экстремума в точке С нет.