Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента

Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть, кроме того, . Тогда внутри сегмента найдется точка такая, что значение производной в этой точке равно нулю. Кратко можно сказать, что между двумя равными значениями дифференцируемой функции обязательно лежит нуль производной этой функции.

Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте , то, согласно 2-ой теореме Вейерштрасса, эта функция достигает на этом сегменте своего максимального значения М и своего минимального значения m. Могут представиться два случая: 1) М = m; 2) М >m. В случае 1) = М = m = const. Поэтому производная равна нулю в любой точке сегмента . В случае М > m, поскольку , можно утверждать, что хотя бы одно из двух значений М или m достигается функцией в некоторой внутренней точке сегмента . Но тогда функция имеет в этой точке локальный экстремум. Поскольку функция дифференцируема в точке , то по теореме «если функция дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то » .

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если крайние ординаты кривой равны, то, согласно теореме Ролля, на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси OX.