![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция непрерывна на сегменте
и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть, кроме того,
. Тогда внутри сегмента
найдется точка
такая, что значение производной в этой точке
равно нулю. Кратко можно сказать, что между двумя равными значениями дифференцируемой функции обязательно лежит нуль производной этой функции.
Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте
, то, согласно 2-ой теореме Вейерштрасса, эта функция достигает на этом сегменте своего максимального значения М и своего минимального значения m. Могут представиться два случая: 1) М = m; 2) М >m. В случае 1)
= М = m = const. Поэтому производная
равна нулю в любой точке сегмента
. В случае М > m, поскольку
, можно утверждать, что хотя бы одно из двух значений М или m достигается функцией в некоторой внутренней точке
сегмента
. Но тогда функция
имеет в этой точке
локальный экстремум. Поскольку функция
дифференцируема в точке
, то по теореме «если функция
дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то
»
.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если крайние ординаты кривой равны, то, согласно теореме Ролля, на кривой
найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси OX.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 183 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!