Понятие дифференцируемости

Функция называется дифференцируемой в данной точке , если приращение этой

функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде (5.9)

где А — некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при .

Заметим, что функция может принимать в точке какое угодно значение (при этом в этой точке остается справедливым представление (5.9)). Ради определенности можно положить .

Так как произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем , т. е. , то формулу (5.9) можно переписать в виде

Теорема 1. Для того чтобы функция являлась дифференцируемой в данной точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. 1) Необходимость.

Пусть функция дифференцируема в данной точке , т. е. ее приращение в этой точке представимо в виде (5.9). Предположив, что и поделив равенство (5.9) на , получим

(5.10)

Из равенства (5.10) вытекает существование производной, т. е. предельного значения .

2) Достаточность. Пусть функция имеет в данной точке конечную производную, т. е. существует предельное значение

(5.11)

В силу определения предельного значения функция аргумента является бесконечно малой при , т. е.

(5.12)

Где . Представление (5.12) совпадает с представлением (5.9), если обозначить через А не зависящее от число . Тем самым доказано, что функция дифференцируема в точке .